相关变化率：水倒入锥形容器

这是个很有意思的情况， 我有一个圆锥体的杯子， 它的高度是 4 厘米， 杯子口的直径也是 4 厘米， 现在我开始往杯子里注水， 我往杯子里注水的速度是 1 立方厘米， 1 立方厘米每秒。 而就在此刻， 杯子里的水面有 2 厘米高， 所以此刻，从杯子的底， 到这个点的高度是 2 厘米， 那么我的问题是，速率—— 我们知道水倒进杯子的速率， 题目中已知每秒多少体积， 我的问题是，就在此刻， 也就是每秒倒进 1 立方厘米， 而且杯子中的水位是 2 厘米的这一刻 水位精确的是 2 厘米， 就在这一刻， 水位高度变化的速率是多少？ 水位恰好就在这里时， 水位的变化速率是多少？ 我知道水位是 2 厘米， 但它的变化速率是多少？ 我们先考虑一下， 已知什么？ 我们已知—— 已经知道水的体积关于时间的变化率， 我们写下来， 我们已知， 水的体积随时间的变化率， 变化率就是 1 立方厘米每秒， 我们要算什么？ 要算的是水的高度 随时间的变化有多快， 已知现在的高度是 2 厘米， 但我们想知道的是 高度关于时间的变化率。 如果我们能求出这个， 就能回答这个问题了。 有一个办法是， 我们先找到在任一时刻， 水的体积和高度之间的关系， 然后将它求导， 可能要用到链式法则， 就能得到 体积变化率与高度变化率之间的关系。 我们一步一步来做， 首先，我们能得到 任一时刻，体积和高度的关系吗？ 圆锥体积公式也给我们了， 圆锥的体积，等于 1/3 乘以 底面积，再乘以高。 我们在这里不证明， 之后会有机会的， 实际上 在用微积分计算旋转体体积的课里， 肯定会证明这个公式。 我们现在就直接先用， 这就是计算圆锥体体积的公式， 通过这个公式，我们能计算出体积—— 我们能找到 体积和高度关系的表达式吗？ 我们可以说，体积—— 我用蓝色—— 实际上我们说的是水的体积。 水的体积等于 1/3 乘以水面的面积 水面的面积——乘以我们的水的高度， 乘以 h。 如何计算水面的面积？ 最好还是用 h 的表达式， 我们看这里， 圆锥最顶部的直径是 4 厘米， 整个杯子的高度是 4 厘米， 这个比例， 对任意深度的水都是一样的， 顶面直径和高度的比例一直不会变， 因为——我把线画出来 在任意给定的点， 它和它的比例都是不变的。 因此在任一给定的点， 水面的直径——如果深度是 h， 水面的直径， 就还是等于 h。 从这里，我们就知道 半径是多大， 半径就等于 h/2， 水面的面积就等于 pi 乘以 r 平方， pi 乘以半径的平方， h/2 的平方。 这就是水面的面积， 当然外面还有个 1/3， 然后后面还有个 h， 我们来化简一下， 这里是 1/3 乘以 pi h 平方除以 4 再乘以 h， 它就等于——pi h的立方除以 12， 这就是水的体积， 然后，我们想要得到， 水的体积随时间的变化速度， 与高度随时间的变化速度，之间的关系。 我们关注的是随时间的变化， 因为这就是要解决的问题。 所以方程两边， 要同时对时间求导， 我要找足够的空间， 移动一下， 向右移动一下， 我就向右移动了一些。 现在，这个式子的两边 要同时对时间来求导。 这里是体积对时间求导， 这里是这部分关于时间求导， 体积对时间的导数， 我可以写成 dV/dt， 就是这个， 这是 dV/dt，它就等于， 这边我们把常数提出来， 它等于 pi 除以 12 乘以 对 t 的导数，里面是 h 的立方， 我这里想表示的更清楚一些， 之前我们假设高度是时间的函数， 它本来就是时间的函数， 高度随着时间在变化， 因为我们一直在往里倒水。 所以这里，我们不写 h 的立方， 我们写 h(t) 的立方。 这样就明确了，这是关于 t 的函数， h(t) 的立方， 关于 t 求导的就是 就是 h(t) 的立方。 你可能灵光一现， 这里就是要用链式法则的地方了。 我们考虑链式法则， 链式法则告诉我们—— 我先写出来， dV/dt，它等于 pi 除以 12 乘以这部分关于 t 的导数。 如果要对这部分关于 t 求导， 这有个三次方， 如果我们要对某东西的三次方求导， 那么就等于—— 我换个颜色，橘色吧—— 它就等于 3 乘以这个东西的平方， 乘以这个东西关于 t 的导数， 乘以 dh——粉色已经用过了—— 乘以 dh/dt。 我们来化简一下， 这个橘色的部分—— 我已经使用了链式法则—— 这是 h(t) 的三次方对 h(t) 求导， 然后乘以 h(t) 对 t 求导。 这就是对整体的求导， h(t) 的立方，对 t 求导， 这就是 h(t) 的立方对 t 求导， 这就是我们做求导这个运算的目的， 它的变化有多快？ 它随时间如何变化？ 我把这部分再写清楚一些， 把我们的结论写清楚， 我们得到 dV， 也就是水的体积随时间如何变化， 体积随时间的变化率， 等于 pi 除以 12 乘以 3 h(t) 平方， 或者我直接写 3h 平方， 乘以水的高度随时间的变化率， 乘以 dh/dt， 你可能有点困惑， 你可能在这里是对 h 求导的， 但是请记住，我们关心的是 如何随时间变化， 所以我们假设—— 当然体积是关于高度的函数， 但高度本身其实是关于时间的函数。 所以我们把所有东西都对时间求导， 所以链式法则才会出现在 h 求导的时候， 或者说，h(t) 求导的时候， 因为 h 是关于 t 的函数。 我们得到这个式子， 它能告诉我们什么？ 它告诉我们， 就在提出问题的这个时刻， dV/dt 我们是知道的，它是 1 立方厘米每秒， 我们知道它是 1 立方厘米每秒， 我们也知道这时的水面高度， 已知是 2 厘米， 而我们不知道的 只有高度随时间的变化率 这一个东西， 而它恰好就是我们想知道的事情， 我们把它解出来， 这是 1 立方厘米—— 我写清楚一些—— 1 立方厘米每秒 单位写不下，就不写了， 它等于 pi/2， 换个颜色， 还是用这个颜色好， 等于 pi/2， 乘以 3，乘以 h 平方， h 等于 2，所以就是 4 平方厘米， 3 乘以 4， 我得细心一些， 这不是 pi/2，而是 pi/12， 这其实是 pi/12， 这是 pi/12 乘以 3 乘以 2 的平方， 再乘以 dh/dt， 所有这些，等于 1。 然后我换成常数的颜色， 得到 1 等于， 3 乘以 4 是 12， 跟这个 12 约掉了， 得到 1 等于 pi 乘以 dh/dt， 要解出 dh/dt，只需两边除以 pi， 真相即将揭晓…… 水的高度关于时间的变化率， 当我们以 1 立方厘米每秒的速度注水， 在水面高度是 2 厘米的时刻， 水面高度随时间的变化率 等于 1/pi。 我还没做量纲分析， 但单位应该是厘米每秒。 量纲分析留给你来做， 只需要把单位放进这里。 但答案已经出来了。 这就是在那一刻， 水面高度随时间的变化速率。