给多项式求导

现在我们知道了指数法则，我们也 在上个视频里看到了，x的n次方 相对于x的导数等于n乘x的 n减1次方，前提是n不等于0 我希望让你看到更多一些 导数的法则，概念或者性质来帮助你 计算任何多项式的导数 所以这是很强大的工具 我想说的第一件事是 为什么n不等于0？ n等于0会发生什么？ 我们想一想 计算一下x的0次方相对于 x的导数 x的0次方是什么？ 我们可以假设这里的x 不等于0 0的0次方会发生奇怪的事情 所以假设x不等于0 那x的0次方是什么 这等于1相对于x的 导数 x的0次方就是1 那1相对于x的导数是什么？ 我画个图来回答这个问题 画一个f(x)等于1 的图像 这是y轴 这是x轴 我在这画y等于1的图像 这是1，f(x)等于 1就是一条水平线 这里是y等于f(x) 等于1的图像 然后要记得导数其实 就是在任意点的切线的斜率 在这个点的切线斜率是多少？ 其实应该说在每一个点的斜率是多少？ 这是一条直线，所以它的斜率不变 它的斜率是常数 这是一条完全水平的先 斜率是0 所以在这里的每一个点 斜率都等于0 在这条线的任意点的 斜率都等于0 对于所有常数都是这样 假如说我的函数是f(x) 等于3, y等于3 y相对于x的 导数是多少？ 同时我也故意让你看到 不同的导数符号 y相对于x的导数是多少 这也可以写成y' 这等于多少？ 导数是在任意点的斜率 这里无论你选择哪个x 斜率都是0 所以是0 所以不仅是x的0次方 你求任何常数的导数 都是0 让我写下来 任何常数A相对于x的导数 任何常数A相对于x的导数 都等于0 这很直接 现在我们再看几个性质 比如说我想计算同一个A 乘一个函数 相对于x的导数 导数其实很方便 你可以直接把这个标量提出来 将其从导数中提出 所以这等于A 我不想用紫色了 这等于A乘f(x)的导数 我用蓝色 另一种表示f(x)的导数的方法 这等于 A乘 f'(x) 这看着好像是一些很夸张的符号 但是我给你个例子之后 可能会更好理解点 假如我要你计算2乘x 的五次方相对于x的导数呢？ 我刚刚讲的性质 说着等于2乘上 x的5次方相对于x的导数 2乘上x的5次方相对于x的导数 也就是说我可以把这个标量 提到导数的前面 那这里是x的五次方 相对于x的导数 我们知道怎么用指数法则来计算 这等于2乘…… 我希望颜色是一致的 这等于2乘上x的5次方相对于x的导数 根据指数法则，n等于5 这等于5乘x的5减1次方 或者说5乘x的四次方 这等于5乘x的四次方 然后2乘5等于10，x的四次方 所以2乘x的五次方，你可以说 根据指数法则 这是5x的四次方 5乘2等于10 所以这让我们日子好过了不少 现在我们可以用指数法则和这个性质 来计算所有形式为 Ax的n次方的导数 现在我们再来看一个 很有用的性质 这些性质不仅仅是对指数法则有效 它们对于所有导数都有效 但是它们对指数法则特别有效 因为这让我们建立多项式 并且计算它们的导数 但是假如我想计算 两个函数的和的导数 比如说一个函数叫f(x) 另一个叫g(x) 幸运的是 这就等于f(x)的导数 加g(x)的导数 所以这等于 让我用那个更清楚的导数运算符号 这等于f(x)相对于x 的导数加g(x)相对于 x的导数 所以这里写f(x) 这里写g(x) 用另一种表达的话 这等于 f(x)相对于x的导数，也就是 f'(x) 然后g(x)相对于x的导数 我们可以写作g'(x) 跟刚刚一样，这可能看着是一堆 高级符号 但是看了例子之后就会好理解了 如果我想对 x 的三次方进行求导的话 加上x的负4次方 这个性质告诉我们这就等于 它们的导数加起来 我们可以用指数法则求这个的导数 等于3x平方 然后我们加上这个 的导数 所以加上 这是另一种蓝色……这是 加负4乘x的负4减1次方 或者说x的负5次方 我可以再化简一下 这等于3x平方 减4x的负5次方 现在我们有了计算 任何多项式的导数所需的所有工具了 我们来练习一下 比如说 f(x)等于2x 的三次方减7x平方加3x减100 f'(x)是什么 f相对于x的导数是什么 我们可以用刚刚的性质 导数等于 2乘x的三次方 x的三次方的导数是3x平方 然后这等于2乘3x平方 负7x平方的导数 是什么？ 等于负7乘 x平方的导数，也就是2x 3x的导数是什么？ 等于3乘x的导数 或者说3乘x的一次方的导数 x的一次方的导数就是1 所以这是加3乘 1x的0次方，也就是1 那最后一个常数的导数 是什么？ 让我换个颜色 一个常数的导数是什么？ 我们在开头讲了 任何常数的导数 都是0，所以加0 现在我们可以化简了 f的导数是 2乘3x平方等于6x平方 减7乘2x等于负14x加3 我们不用写这个0 然后我们就得到答案了 我们现在就拥有计算 任何多项式甚至包括其它东西 的导数的性质了