简单微分法则的例子

我们已知 关于 f ， g 和 h 的一些有意思的信息， 对于 f ，题目告诉我们对于给定的 x f(x) 的值是什么， 和 f '(x) 是什么。 然后，题目 用这种绝对值表达式为我们定义了 g(x)， 然后，题目又 用 f(x) 和 g(x) 为我们定义了 h(x)， 我们要求的是 h(x) 对于 x 的导数在 x=9 的时候等于什么。 我鼓励大家暂停这个视频， 在我们解题之前， 自己思考一下。 让我们来想一想， 或者我们先熟悉一下这些书写符号， h(x) 对于 x 的导数， 在 x = 9 时的值， 它等同于h --我们需要用蓝色， --它等同于h‘ ， 而 ' 表示我们要求的导数， h '(x) 在 x=9 时的值， h ’(9) 就是这个意思。 我要用不同的颜色来写， 这是 h ’(9)， 我们来想一想它是什么。 让我们对 表达式的两边求导， 找出 h 对于 x 的导数是什么， 我们来求导--我用同样的白色-- h(x) 对于 x 的导数， 就等于 所有这些项对于 x 的导数， 我可以把它重写为， 3 乘以 f(x) 加上 2 乘以 g(x) , 现在这里， 两项的和的导数， 就等同于 每一项的导数的和， 它就等同于 这一项对于 x 的导数， 3 乘以 --我写得整洁一些-- 3 乘以 f(x) 对于 x 的导数，加上 2 乘以 g(x) 对于 x 的导数。 现在，一个数字 或者你们会说，一个比例因子乘以一个函数， 一个数字乘以一个函数的导数 就等于一个数字 乘以这个函数的导数， 这是什么意思呢？ 意思就是这里第一项 就会等于 3 乘以 f(x) 对于 x 的导数， 加上这一部分，它也一样，就是 2 -- 我要保证不会把空间用没了-- 加上 2 乘以 g(x) 对于 x 的导数， h 对 x 的导数 就等于 3 乘以 f 对 x 的导数 加上 2 乘以 g 对 x 的导数。 如果我们想把它重写为这种 ' 的符号 我们可以写成 h '(x) = 3 f '(x) 这里，这一部分 等同于 f '(x) 这就是 3 f '(x) + 2 g '(x)， 一旦你对这个性质更加熟悉， 两项之和的导数， 就是导数的和。 一个常数乘以某项的导数， 等同于这个常数 乘以这一项的导数， 你可以很快地 直接从这里做到这里， 有趣的是， 现在我们可以估算这个函数 在 x 等于 9 的值。 h '(9) 等于 3 乘以 f '(9) 加上 2 乘以 g '(9) 现在， f '(9) 是什么？ 我们的函数 f 在 x 等于 9 的导数， 题目告诉我们，当 x 等于 9， f(9) 等于 1， 但更重要的是， f '(9) 等于 3， 这里这一部分的值是 3， g '(9) 是什么？ 让我们更加仔细地看看这个函数， 有几个方法来考虑， 我们来把它的图像画出来， 这很有意思， 看看这个函数是什么样子。 这是我们的 y 轴， 这是我们的 x 轴， 在处理一个这样的绝对值函数时， 什么时候它的达到最小值的那一点呢？ 一个变量的绝对值 总是非负的， 它在这一项等于 0 时，达到最小值， 它什么时候等于 0 呢？ 当 x 等于 1 时，这一项等于 0， 在 x 等于 1 时，我们达到最小值。 当 x 等于 1 时，这一项等于 0， 0 的绝对值， 0， g(1) 是 1， 我们有这一点，就在这里。 后面会怎样？ 在 x 大于 1 时，会怎样？ 我们把它写出来， g(x) 等于， 通常，每当你有绝对值， 像这样的一个相对简单的绝对值函数 你可以这样来理解，你可以把它 分解成两部分， 你可以对这个函数 在不同的区间进行考虑， 当求一个非负值的绝对值 和求一个负值的绝对值 当求一个非负值的绝对值时， 也就是当 x 大于或等于 0， 当求一个非负值得绝对值， 如果求一个非负值得绝对值， 它就是它本身， 0 的绝对值是 0， 1 的绝对值是 1， 100 的绝对值是 100 这样，对于 x 大于等于 0， 你可以忽略绝对值。 不是大于等于 0， 而是 x 大于等于 1， x 大于等于 1， 这里这一项是非负的。 只需要计算 x-1， 这就是 x -1 + 1， 也就等于 x， 减一加一，它们互消， 现在，当这里这一项是负值， 它会发生在当 x 小于 1时， 它的绝对值 就是它的负值， 一个负数的绝对值 就是对它取负， -8 的绝对值是 +8， 它就成为 -(x -1） 就是 1- x + 1 或者说 2-x， 当 x 大于等于 1， 我们看这个表达式， 它的斜率是什么？ 它的斜率是 1， 我们会有这样的曲线， 或者说这样一条直线。 对于所有的 x 大于等于 1， 记住，重要的是， 当我们考虑 g 的导数时， 我们考虑切线斜率， 斜率等于 1 对于 x 小于 1，或者它的斜率， 我们看这里， 这个斜率是 -1， 它看着是这样的， 是这样。 对于这个题目， 如果我们考虑 g '(9)， 9 大概在这里， g '(9) 是什么？ g '(9)，我要把它弄明白， 就在图像的这里， 这是 g (x) 的图像， 或者说，这是 y = g(x）的图像， y = g(x)， g '(9) 是什么？ 这就是 x 等于 9 时的斜率， 斜率等于 1， g '(9) 就是 1， 它的值是什么？ 这里是 3 乘以 3， 这里这一部分是 9， 加上 2 乘以 1，加上 2，等于 11， h 的切线斜率 在 x 等于 9 时，就是 11。