求多项式微分的例子

这里有函数F (X) 我们用多项式表达式来定义它 这里我要做的是 对函数求导 也就是对这个多项式表达式求导 我们要 对X求导 首先我要做的是 对两边求导 我们可以说 F (X) F (X)对X求导 等于对X求导 X ^ 5 X ^ 5 X ^ 5 X ^ 5 + 2 2x ^ 3 - X² 这个符号，为了熟悉它 你可以用导数算子来表示 这是 我想对括号内的 任何东西对X求导 F关于X的导数 我们可以用这个符号 但它就是 F ' (X) 这就等于 现在我们可以用导数性质了 一堆东西的和或差 的导数 导数等于 它们各自导数之差的和 所以这就等于 这三个东西 对X的导数 对X求导 我这样写 第一项 加上 第二项关于X的导数 减去第三项 关于X的导数 关于X的导数 我用颜色标记一下 这里有一个X ^ 5 我把X ^ 5 写在这里 这里是2x ^ 3 我把2x ^ 3写在这里 这里是X² 减去X² 也就是减去 X²关于X的导数。 注意到这里 所发生的是 我对每一项分别求导 然后以相同的方式 加减这些项 那么这个等于什么呢? 它等于 X的五次方 可以用幂法则 我们可以 把5提出来指数减1 变成了 5x的5 - 1次方 当然，等于4 对于第二个 我们可以用几个步骤来做 实际上，我把它写在这里 所以我可以写 我可以写 2x ^ 3 关于X的导数 是相同的 它等于相同的 我们可以把常数提出来 2乘以X的3次 方关于 X的导数 这是我们的 这是我们的导数性质之一 常数乘以某个表达式 的导数 等于常数乘以 这个表达式的导数 对X ^ 3求导 是什么呢? 我们可以把3放到前面 然后降低指数 所以这就等于 这个2 乘以3 乘以X的3 - 1次方 当然，这是二次幂 得到6x ^ 2 所以，另一种方法 是我可以在这里写6x² 是我可以在这里写6x² 所以这是6x² 所以这是6x² 当你做更多的题时 当你做更多的题时 你就会知道你完全 可以在脑子里算出来。 看，这里有个3作为指数 我把3乘以这个系数 因为这就是我们最后做的 3乘以系数是6x 然后3 - 1是2 所以你不一定要这么做 但是很高兴看到 这是我们在其他视频中 讨论过的导数性质 最后 是负的 这里 我们用幂法则 把2放到前面 然后指数递减 所以是2 它等于 2乘以 X的2 - 1次方 也就是1 我们可以把它写成2x 就像这样 我们可以算出F的导数 你可能会说，这是什么? 现在我们有一个表达式 告诉我们切线的斜率 或者你可以把它看成 是对任意X值 关于X的瞬时变化率 那么 如果我说 如果我现在说f ' (2) 这就告诉我们 当X = 2时 函数的切线 斜率是多少 也就是 5 * 2 ^ 4 加上 6 * 2 ^ 2 6乘以2的平方 减去 2乘以2 减去2乘以2 这就等于我们看一下 2的4次方是16 16乘以5等于80 这是80 然后这是6乘以4 等于24 然后减去4 所以这是80 + 24 = 104 - 4 = 100 当X = 2时 曲线很陡 斜率是100 如果你要画出 X = 2时的切线 对于每个正的点 在x方向上移动1 y方向上移动100 所以这里很陡，这是有道理的 这是一个相当大的数 X的5次方 然后再加上 另一个高次的X的3次方 然后减去一个低阶 这就是你所期望的