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主要内容

使用极限的正式定义计算切线方程

这个结构化的练习题将指引你通过三个例子,学习怎样计算曲线某点的切线方程。
我们可以用函数fx=c时导数的定义(当极限存在时)来算出切线的斜率:
limh0f(c+h)f(c)h
当我们算出了斜率后,我们可以找到这条线的等式。这篇文章讲了三个例子。
函数f被绘制。 x轴正值包括值c。 该图是曲线。 曲线从象限2开始,向下移动到象限1中的一个点,向上移动到x = c处的一个点,并在象限1中结束。切线从象限4开始,向上移动,在点 x = c处触及曲线,结束于象限1。

例1:求函数f(x)=x2x=3的切线方程

第一步
f(x)=x2x=3时导数的表达式是什么?
选出正确答案:

第二步
从上一步算出正确的极限值。
f(3)=
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

f(3)给了我们切线的斜率。要找到完整的等式,我们需要找到一个这条线穿过的点。
一般来说,这个点会是切线和函数f的交点。
第三步
我们需要使用哪个点来找到切线的等式?
(
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
,
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
)

第四步
找到函数f(x)=x2x=3时切线的斜率等式
y=

我们完成任务!我们使用导数的定义找到了找到函数f(x)=x2x=3时切线方程。
图中是函数f。 正x轴的范围是从负12到12。该图为U形曲线。 曲线从第2象限开始,向下移动到(0,0),向上移动经过点(3,9)附近,然后在第1象限结束。切线从第4象限开始,向上移动,在曲线上触及该点,并在第1象限结束。

例2:求函数g(x)=x3x=1的切线方程

第一步
g(1)=?
选出正确答案:

例3:求函数f(x)=x2+3x=5的切线方程

让我们省略些步骤。
切线的方程是什么?

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