用正式定义表示 x² 在任意点的导数

上一集视频中 我们求出了 曲线y=x^2在确切一点的斜率 我们看能不能将它一般化 得到一个公式来求y=x^2这条曲线上 任意一点的斜率 我先在这里重画一下函数曲线 把曲线画得好看一点总是好的 这是y轴 然后这是我的x轴 这是x轴 然后画函数曲线 它应该是这样的 你已经见过很多次了 这是y=x^2 现在我们将它一般化 请记住 如果你想算出-- 我把导数的定义写在这里 如果在这里有一个点 我们令它为x 我们要做到一般化 我们想要算出函数在x点的斜率 我们要找到一个函数 给出横坐标x 就可以马上计算出这个点的斜率 我们令它为f'(x) 就是函数f(x)的导数 这个函数的作用--这个f(x)-- 它的意义在于你给出一个x值 它就计算出我们画的这个曲线上 对应的f(x)值 类似于f(x) 给这个函数一个同样的x 但它不是计算函数曲线上这个点的值 它计算得到的不是f(x) 这个函数计算的是曲线 在这个点的斜率 因此把x放入这个函数中 它计算得到的就是曲线在这个点的斜率 也就是说 如果这里是3 那就得到斜率是6 我们已经在上个例题中得到了 因此这是这个函数要完成的功能 之前我们见过 大概前两个视频里 我们定义f'(x)就等于-- 我这样来写 f'(x)就是x与某点之间形成的割线的斜率 且该点与x的距离非常小 因此这条割线的斜率也就是y的变化量 这是这个点的y值 与x点的距离很小 所以得到f(x+h)减去这个点的y值 对吧 因为这里 这是f(x) 所以减去f(x) 这部分再除以x的增量 如果这里是x+h 增量就等于x+h-x 或者说这段长度为h x的增量就等于h 因此这就是任意两点之间 割线的斜率 如果我们把长度h趋于0 那么我们就得到切线的斜率 就计算得到这点的切线的斜率了 下面把这个概念应用到具体函数 f(x)=x^2上 或者说y=x^2上 这里我们设一个点-- 这一点的坐标就是(x,x^2) f(x)就等于x^2 这就是设的那个点 我用更明亮的颜色来表示 这是点x+h 就是这里 和点x的距离很小 然后函数值为(x+h)^2 在上集视频中 我们取了一个特殊的x值 我们取x=3 但现在我要得到一个一般化的方程 不论给我任何x值都可以计算 而不是像上一集视频中仅计算特殊点 我要得到一个一般化的函数 取x=7 我就能算出7这个点的斜率 取x=-3 我就能算出-3这个点的斜率 取x=100000 我就能算出100000这个点的斜率 我们来推导一下 我们要计算出y的变化量除以x的变化量 那么首先 y的变化量就是这个y值 也就是(x+h)^2 这是这部分的y值 在这里 就是(x+h)^2 也就是取x=x+h 然后做平方处理 这是它在曲线上的值 就是(x+h)^2 这个点就在这里 然后这部分的值是什么 f(x)就等于 我知道这看起来有些乱了-- 它就等于x^2 代入x 计算函数在这个点的取值 得到的就是x^2 这里要减去x^2 这部分就是y的变化量 也就是这一段距离 把它和导数的定义联系在一起 蓝色表示的部分也就等同于这一项 你代入函数计算得到的部分 函数是f(x)=x^2 我们计算了x=x+h时函数的取值 因此根据函数形式 如果取x=a 那么就得到a^2 如果x=apple 那么得到的就是apple的平方 如果x=x+h 计算就得到(x+h)^2 也就是这部分 然后这部分-- 就是把点x代入函数计算得到的 它们相减就是y的变化量 再将它除以x的变化量 x的变化量 如果两点的x坐标分别为x+h和x 那么x的变化量就是h 因此我们就得到了这种形式 这就是两个点之间连线的斜率 也就是这些两点间连线的斜率 当然我们要计算出极限 就是当这个点不断靠近这个点-- 越来越近的时候 两点间的连线就变成了切线 所以我们取h趋向于0时的极限 就得到了f'(x) 这就是它的确切定义 并且是一般化的形式 对于任何函数 我们都可以利用它来求导 这里函数是f(x)=x^2 我们来应用一下求导公式 我们用x^2来替代f(x) 用(x+h)^2来替代f(x+h) 我们来看看是否能计算出这个极限 这部分等于h趋向于0时的极限 平方项展开-- 我用相同的颜色来表示 平方展开式就是x^2+2xh+h^2 然后再将这部分减去x^2 我就把平方项展开了 再将这整一部分除以h 我们看看能不能再将它简化 一眼能看到 x^2 和-x^2 这两个可以相互抵消 然后我们将分子和分母同时除以h 化简得到 f'(x)就等于-- 如果分子和分母同时除以h 我们就得到了2x+h 对不起 我忘写极限符号了 它等于这部分的极限 这很重要 当h趋向于0时--每一项除以h 就得到了2x加上h^2除以h 也就是h 如果你还记得 上集视频中我们用一个特殊的x值 我们取x=3 我们就得到了6+△x 或者说6+h 很相似的形式 如果在这里取h趋向于0时的极限 那它就可以忽略了 这部分就等于2x 这样我们就算出来了 这是个很棒的结果 令人振奋啊 如果f(x)=x^2 那么f'(x)=2x 这就是我们计算得到的 我要确保你明白如何去解释它 f(x)相当于是如果你给我一个点 它会告诉你函数在这个点处的值 而f'(x)则是告诉你在这个点处的斜率 我把它画出来 因为这是个理解上的关键点 一开始很难直观理解 怎么用一个函数表示曲线上 某一点的斜率 大概就是这样子 我画得稍微整洁一点 还不够 这样差不多了 我把它画在正轴上 我画出整个部分 曲线大致上是这个样子 这就是曲线f(x) 就是f(x)=x^2的曲线 就是这样 如果你给我一个点 比如你给我点x=7 放在这里 然后进行平方处理 对应y轴就是y=49 因此你在这里确定49 坐标就是(7,49) 处理这类函数问题你已经很熟练了 那么f'(7)等于多少 f'(7) 你会说 2*7=14 那么这里14是什么 它代表什么东西 它代表在x=7这个点上切线的斜率 如果我取这个点并画一条线 通过这个点并与函数曲线相切 如果我在这里画一条切线 这不像是切线 这才是我要的切线 你应该明白了 它的斜率就等于y的变化量除以x的变化量 也就等于14 曲线在y点处的斜率为7 相当地陡峭 如果你要计算斜率 假定这是x=2的点 之前计算得到在x=7这个点上 斜率是14 那么x=2这个点上 斜率是多少 计算出来就是f'(2)-- 就等于2乘以2 也就是4 所以这个点上斜率是4 用m表示斜率的话 就有m=4 那么f'(0)是多少 你知道f(0)=0 对吧 0的平方就是0 那么f'(0)等于多少 当然 2乘以0还是0 结果也是0 那么这代表什么含义 如何解释这个数值 它表示曲线上这个点上的切线斜率为0 斜率为0的线就是这样 就是一条水平线 大概就是这样 一条水平线在y=0这个点处和曲线相切 让我们再找一个点 我们来试试x=-1这个点 在这里 x=-1 因此f(-1)就是(-1)^2 因为是平方计算 所以得到的结果是1 也就是这个点 那么f'(-1)是多少 f'(-1)=2*(-1) 2乘以-1得到-2 这代表什么 它代表在函数曲线上经过x=-1这个点 切线的斜率是-2 如果我把切线画出来-- 切线就应该是这样的 注意 这是一条向下的直线 这就是斜率为-2的含义 这条切线的斜率就是-2