用正式定义表示 x² 在 x=3 的导数

上一集视频里我们求出了 曲线上某一点的斜率的表达式 我们用的方法是 先求相隔很近的这两点 它们连线的斜率 就得到这条割线的斜率 形式看起来有点奇怪 但其实这一项就是 上面这点的y坐标 这一项是下面这点的y坐标 两者相减得到就是y增量 然后用它除以x增量 我们举的这个例子用h表示两个x的差值 这一段就是h 这就得出了割线的斜率 然后我们说 我们能不能使这点 无限趋近这一点呢 最后直到两点重合的时候 这时割线的斜率就是切线的斜率了 我们把它定义为导函数 并且用f'(x)来表示 这一集里面我们看看能不能把它应用起来 让它在你们脑海里更加具体 举一个具体例子 首先还是先做一个 求具体某一点的斜率的例子 先画坐标轴 先画坐标轴 假设我们的曲线是--这样的曲线 方程是y=x^2 这是我们的y轴 这是x轴 然后我想求在x=3这一点的斜率 我们说的某点的斜率就是这点的切线的斜率 你就可以想象有这样一条切线 它就刚好在这一点和曲线相切 而切线的斜率又是多少呢？ 这一点的切线的斜率 就等于曲线在这一点的斜率 求它的斜率 我们还是按-- 和上一集同样的方法来求 最后归纳出它的规律 这样就不必每求一点都算一次了 所以我们再取另一点吧 假设这点横坐标是3+△x 差值的记号我换了 因为你会看到有些书用h 而有些书则用△x 我们两个都知道就行了 所以这点为3+△x 然后这一点的坐标是什么呢？ 曲线的方程是y=x^2 所以这点的f(x)是3^2 也就是9 这点坐标就是(3,9) 然后这一点的坐标呢？ 作辅助线上来 对应的y是多少呢？ 现在这一点的横坐标是3+△x 就相当于上面这一项 x0+h 令它为3+h也一样的 所以这点横坐标是3+△x 求它对应的y值是多少 无论x取什么值 只要点在曲线上 都满足方程y=x^2 所以这点的y坐标就是(3+△x)^2 下面我们再求割线的斜率 我先把它画大一点 以便看得更清楚 如果就只把曲线这一部分放大 就会是这样子 然后这是一点 上面是另外一点 这就是通过它们的割线 就像这样 这对应下面那点 坐标是(3,9) 然后上面这一点 横坐标是3+△x 就是比3稍大的数 纵坐标就是它的平方 也就是(3+△x)^2 它等于多少 就等于9-- 我就把它展开来了 用两次分配律 (a+b)^2就等于a^2+2ab+b^2 所以它展开就等于9加上两者乘积的两倍 所以加上6△x 再加上(△x)^2 这就是第二点的坐标 看起好像复杂了 但其实只是横坐标的平方 因为曲线上的点都满足y=x^2 于是我们割线的斜率就等于 用y的增量除以x的增量 而y增量就等于上面这个坐标的y值 也就是9+6△x+(△x)^2 就是这一点的y值 减去下面这点的y值 所以减去9 这就得到y的增量了 然后要用它去除以x的增量 而x的增量又是多少呢？ x增量就相当容易求了 就用较大的x值--我们取上面点为起始点 所以要以它为被减数 也就是3+△x 然后下面这点的x是多少？ 它的x坐标就是3 所以减去3 然后它化简会等于什么？ 分子就是--两个9消掉 9减去9就是0 而分母呢 3和-3消掉了 所以最后x增量实际上就等于△x 这是讲得通的 因为△x 实质上就是这一点比前一点大多少 所以它就是x的增量 △x 所以割线的斜率 就能化简成6△x-- 加上(△x)^2 整个再比上△x 下面我们可以继续将它化简 将分子分母同时除以△x 我换种颜色不用看起来这么单调 所以这时割线的斜率就是-- 经过这两点的直线的斜率-- 分子除以分母后 分子就变成6-- 也相当于分子分母都除以△x 结果就等于6+△x 所以这就是割线的斜率 也就是 斜率=6+△x 就是这一条割线 我画的这一条红色割线 所以这一项 如果增量△x为1 也就是这两点分别是3和4 那么斜率就等于6加1 因为我取第二点为x=4 这时对应的△x就是1 所以斜率等于7 所以就得到了这个通式 不管△x是多少 我们都能求出3和3+△x 这两点间的斜率 现在 我们真正在求的是这一点的斜率 我们就看看当△x取得越来越小时会怎样 现在△x是这一段 这一段长度 如果△x变小一些 割线就会变成这样子 再变小 割线又变成这样子 继续变小 割线就变成和切线相当接近了 我要求的就是这条切线 它的斜率 我们求一下△x趋于0时的极限 △x趋于0时 割线-- 6+△x的极限等于多少？ 这很简单吧 就是令△x这一项为0 它就等于6 所以在x=3这一点 切线的斜率就等于6 另一种表示方法是 如果我把它写成f(x)=x^2 我们又知道在x=3这一点的导函数-- 也就是x=3点的切线方程-- 我们现在只是求3这一点-- 它就等于6 到这里我们还没有得出曲线上 任意一点的斜率的一般公式 这会在下一集视频详细讲解