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导数ln(x)作为极限

已经有足够多抽象的东西了, 让我们来看看在实践中正式和其他导数形式的样子。 Sal Khan 创建

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假设f(x)等于x的自然对数 然后我们想计算当x等于e的 时候的切线斜率 这是x等于e 这个点(e,1)是在曲线上 f(e)等于1 e的自然对数是1 这里我画了切线斜率 或者说我画了切线出来 然后我们想计算它的斜率 或者说得到它的表达式 然后我要通过正式定义 和另一个定义来得到表达式 这样我们可以对比一下 我们先看看正式定义 正式定义是先 得到在任何一个x的导数 假设这是任何一个地方的x 这个点是(x,f(x)) 然后这个是x加h 所以这个距离是h 这个点是 (x+h,f(x+h)) 利用极限的正式定义是 先找到这两点之间的 割线斜率 然后求h接近0时候的极限 当h越来越接近的时候 蓝点会离x越来越近 然后这个点会在曲线上更接近 然后割线就会是越来越 接近在x的 切线 那我们来计算 割线的斜率是多少? 垂直方向的变化量是 f(x+h)减去f(x) 然后全部除以水平方向的变化量 是x+h-x 其实就是h 除以h 然后我们计算当h接近0的时候 的极限 在这里f(x)是x的自然对数 这个就是当h接近0的时候 f(x+h)就是x+h的 自然对数,减去x的自然对数,全部除以h 所以这是对应我们这个f(x) 的f'(x) 然后当我们想计算x等于e的情况时 只需把看到x的地方 替换成e即可 这就是导数作为x的 函数 看着是一个很夸张的函数 然后这还有个极限 但是在你看见x的地方 你可以替换成e 所以……我们来计算 唉 屏幕被挡住了 好了 我们可以写f'(e)是 等于当h接近0的时候…… 让我用同一个颜色 这样方便我们跟踪……e加h的自然对数 我先留个空位 减e的自然对数,然后全部除以h 就是这样 这里我们计算这个极限之后 如果我们成功的话 如果我们能计算这个极限 结果就是当x等于e的时候 的切线斜率 这是按照正式定义来 现在我们用另一个办法 另一个定义是 假如你不想计算导数的通用表达式 作为x的函数的话,你只想 计算某个点的斜率 另一个定义会直接得到 结果 假设这里有另一个 x的值 假设这里有另一个x的值 这里是这个点是x 逗号,x的自然对数 这两个点之间的割线斜率是什么 这等于y的变化量 也就是x的自然对数减去1 这里我用红色……除以x的变化量 也就是x减e 这是这两个点之间的割线斜率 那切线的斜率呢? 我们只需计算当x接近e的时候的极限 当x越来越接近e 这两个点会越来越接近彼此 然后割线就会接近 切线 我们只需计算当x接近e时的极限 所以这俩哪一个都行 这是用极限的正式定义 让我确保这个h不被圈进来 我们可以用正式定义 或者是另一种定义