导数：曲线的斜率

在这个视频中， 我们要做几个例题来检验我们 对导数的直观理解， 导数可以被认为是变化率，曲线的陡度， 或者是曲线的斜率， 或是曲线的切线的斜率， 这取决于你要怎样去考虑它。 这里，题目说 F '(5)， 这个符号，上单引号， 这是对它的导数的另一种表示方法。 我们来估计我们的函数在 5 这一点的导数值。 我们说 f '(5)，是 这个切线的斜率， 在 5 这一点的切线的斜率， 或者，我们也可以把它看作是， y 对于 x 的 变化率， 这正是我们怎样来 定义函数 f 对于 x 的变化率。 我们来考虑一下， 我们看到，题目上 5 这一点 f ' (5) ，就在这里， 所以，如果我们要估算这个切线的斜率， 如果我们要估算这个曲线的陡度， 我们可以画一条线， 它是这一点的切线， 我看看我是否可以画出来， 如果我要从这一点开始画一条线， 我要让它是一条切线， 它应该是这样， 就在这一点，能看出 这个曲线有多么陡， 而对于非线性的曲线， 有意思的是它一直在变化， 它的陡度在这里非常低， 在我们向右移动时， 随着 x值越来越大，它越来越陡， 但是我们看题目中的这个点， 当 x 等于 5，f ' (5) 就是，在你进行估算时， 它就是这里这条线的斜率， 而这条线的斜率看起来就是 我们在 x 方向移动 1， 在 y 方向移动 2， Δx 等于 1 时，Δy 等于 2， 所以， y 对于 x 的变化， 至少对于这里的这条切线， 它反映出 y 在这一点对于 x 的变化， 就等于 2/1，也就是 2， 这样我们几乎就做出估计了，所有这些都相差太远。 这个导数为 -2， 意思就是，在我们增加 x 的时候，y 会减小， 如果我们的曲线是这样的， 我们才会有 -2 的斜率， 如果有它的斜率， 为 +0.1， 它就会非常平，像在这里， 我们或许能有接近 0.1 的斜率。 - 0.1 可能会在这一边， 它有斜率但是非常接近平线。 斜率为 0 ，它就在最下面这一点。 就在这一点，当我们使 x 变化时 y 既不增加，也不减小， 在最下面这一点的切线 它的斜率为 0 。 所以我对这个答案感觉良好。 我们再做一个题， 题目要求我们 比较 g 在 4 这一点的导数和 g 在 6 这一点的导数 哪一个更大。 还是像往常一样，暂停视频， 看我们是不是能找出答案， 这只是一个练习。 我们来看，我们是不是可以， 我们是不是可以做出一条能表示这里的斜率的直线 你可以画出一条切线， 我们来试一下， 这个不行，这不太好， 在这里， 它看起来， 我想我能画得更好一些， 不行，看起来它太浅了， 不是浅，不能用这个词，它是太平了， 让我好好试一下， OK，它看起来挺好， 我刚才画的这条线， 看起来可以表示 这个 y 对于 x 的变化率， 或者这条曲线的斜率。 也可以把这条线看作一条切线， 所以我们能够想到它的斜率时什么。 如果我们进一步向下到这里， 这一点它看着 更陡一些，但是是在负的方向， 它看起来的确是更陡， 但是在负的方向， 当我们增加 --我们这样想 -- 当我们在 x 增加 1 ， 它看起来 y 大约减少 1， 看起来， g ' (4) 在 x 等于 4 时，它的导数 我估计大约等于 -1， 而这里的导数，在我们 x 增加 1 时， 如果我们把 x 增加 1， 把 x 增加 1， 看起来，y 将近减少 3， 所以 g ’ (6) 看起来约是 -3， 那么，哪一个更大呢？ 这一个负得小一些 所以就比另一个大一些， 你能够很直观地给出它的解。 如果你观察曲线， 这是一种正弦曲线， 在这里，曲线很平， 你就处在一个点， y 对于 x 没有变化， 然后，它开始下降， 然后，它以更快得速率下降， 以更快得速率下降， 然后，它开始 --它还在下降， 但是以越来越慢得速率下降， 慢速下降，就在这一点， 它的切线得斜率为 0 ， 然后， 它开始上升，上升 -- 就这样周而复始， 所以，你可以这样更加直观地考虑这个问题。