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导数:曲线的斜率

小明解决了几个问题,在这些问题中,他把函数在某点的导数理解为曲线的斜率,或者是在那点函数的切线的斜率。

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视频字幕

在这个视频中, 我们要做几个例题来检验我们 对导数的直观理解, 导数可以被认为是变化率,曲线的陡度, 或者是曲线的斜率, 或是曲线的切线的斜率, 这取决于你要怎样去考虑它。 这里,题目说 F '(5), 这个符号,上单引号, 这是对它的导数的另一种表示方法。 我们来估计我们的函数在 5 这一点的导数值。 我们说 f '(5),是 这个切线的斜率, 在 5 这一点的切线的斜率, 或者,我们也可以把它看作是, y 对于 x 的 变化率, 这正是我们怎样来 定义函数 f 对于 x 的变化率。 我们来考虑一下, 我们看到,题目上 5 这一点 f ' (5) ,就在这里, 所以,如果我们要估算这个切线的斜率, 如果我们要估算这个曲线的陡度, 我们可以画一条线, 它是这一点的切线, 我看看我是否可以画出来, 如果我要从这一点开始画一条线, 我要让它是一条切线, 它应该是这样, 就在这一点,能看出 这个曲线有多么陡, 而对于非线性的曲线, 有意思的是它一直在变化, 它的陡度在这里非常低, 在我们向右移动时, 随着 x值越来越大,它越来越陡, 但是我们看题目中的这个点, 当 x 等于 5,f ' (5) 就是,在你进行估算时, 它就是这里这条线的斜率, 而这条线的斜率看起来就是 我们在 x 方向移动 1, 在 y 方向移动 2, Δx 等于 1 时,Δy 等于 2, 所以, y 对于 x 的变化, 至少对于这里的这条切线, 它反映出 y 在这一点对于 x 的变化, 就等于 2/1,也就是 2, 这样我们几乎就做出估计了,所有这些都相差太远。 这个导数为 -2, 意思就是,在我们增加 x 的时候,y 会减小, 如果我们的曲线是这样的, 我们才会有 -2 的斜率, 如果有它的斜率, 为 +0.1, 它就会非常平,像在这里, 我们或许能有接近 0.1 的斜率。 - 0.1 可能会在这一边, 它有斜率但是非常接近平线。 斜率为 0 ,它就在最下面这一点。 就在这一点,当我们使 x 变化时 y 既不增加,也不减小, 在最下面这一点的切线 它的斜率为 0 。 所以我对这个答案感觉良好。 我们再做一个题, 题目要求我们 比较 g 在 4 这一点的导数和 g 在 6 这一点的导数 哪一个更大。 还是像往常一样,暂停视频, 看我们是不是能找出答案, 这只是一个练习。 我们来看,我们是不是可以, 我们是不是可以做出一条能表示这里的斜率的直线 你可以画出一条切线, 我们来试一下, 这个不行,这不太好, 在这里, 它看起来, 我想我能画得更好一些, 不行,看起来它太浅了, 不是浅,不能用这个词,它是太平了, 让我好好试一下, OK,它看起来挺好, 我刚才画的这条线, 看起来可以表示 这个 y 对于 x 的变化率, 或者这条曲线的斜率。 也可以把这条线看作一条切线, 所以我们能够想到它的斜率时什么。 如果我们进一步向下到这里, 这一点它看着 更陡一些,但是是在负的方向, 它看起来的确是更陡, 但是在负的方向, 当我们增加 --我们这样想 -- 当我们在 x 增加 1 , 它看起来 y 大约减少 1, 看起来, g ' (4) 在 x 等于 4 时,它的导数 我估计大约等于 -1, 而这里的导数,在我们 x 增加 1 时, 如果我们把 x 增加 1, 把 x 增加 1, 看起来,y 将近减少 3, 所以 g ’ (6) 看起来约是 -3, 那么,哪一个更大呢? 这一个负得小一些 所以就比另一个大一些, 你能够很直观地给出它的解。 如果你观察曲线, 这是一种正弦曲线, 在这里,曲线很平, 你就处在一个点, y 对于 x 没有变化, 然后,它开始下降, 然后,它以更快得速率下降, 以更快得速率下降, 然后,它开始 --它还在下降, 但是以越来越慢得速率下降, 慢速下降,就在这一点, 它的切线得斜率为 0 , 然后, 它开始上升,上升 -- 就这样周而复始, 所以,你可以这样更加直观地考虑这个问题。