正切线的导数

题目告诉我们， 一个函数 f 的曲线在 （2，3）这一点的切线 通过点 （7，6）， 求 f '(2)。 每当你遇到这类问题， 观察它的图像都会有益。 你会想把它的图像画出来， 或者在脑子里想象它的图像。 但是，你不能看到我的脑子里， 我要把它画出来。 让我来 根据得到的信息画出图像。 这是 x 轴，这是 y 轴。 我们看相应于 （2，3）这一点， 和 （7，6）这一点。 我来画一下。 1，2，3，4 5，6，7 沿着 x 轴， 我要到 1，2，3，4， 5，6，沿着 y 轴， 就是这一点。 我们看到这里是（2，3）， 我们做个记号， （2，3）就在这里， 这是（2，3） 我们还有（7，6）这一点， （7，6）就在这里， （7，6） 我们回忆一下题目是怎样说的， 题目说，函数 f 的图像 在这一点的切线 通过点（7，6）， 如果这就是函数图像在这个点的切线， 它必须通过（2，3）， 这是它唯一的和我们的图像相交的地方， 而它通过（7，6）， 我们只需要两个点就可以定义一个直线， 所以这个切线就是这样的， 它看起来是-- 看我能不能把它-- 这样不行， 我来画一下， 它看起来应该是-- 哎，这样不准确， 我再试一次， 好了，这回可以了。 这条切线看着是这样的， 它与 f 在（2，3）相切， 并且通过点（7，6）， 我们不知道 f 的其他信息， 但是我们可以想象 f 是什么样子， 我们的函数 f 可以是 我们的函数 f 可以是 它可以看起来是这样的， 它必须和这条线相切， 这条线必须和我们的函数 在这一点相切， 所以我们的函数 f 可以看着是这样， 当题目说，找出 f '(2) 时， 它实际上就是说 这条切线的斜率 在 x 等于 2 时是多少， 当 x 等于 2 时， 这条切线的斜率就是 这条线的斜率。 题目给我们 这条切线上的两个点， 所以我们必须找到它的斜率， 因为它就是 这个函数在这里的变化率， 也就是它的导数。 它就是这条切线的斜率， 因为，这就是切线。 我们来做一下， 我们知道， 斜率就是 y 的变化除以 x 的变化， 如果我们 从 （2，3）到（7，6）， x 的变化 x 的变化 x 从等于 2 到等于7 ， 所以 x 的变化是 5， 而我们的 y 的变化， y 的变化 我们从 y 等于3 到 y 等于 6， 所以 y 的变化是 3， 那么 y 的变化除以 x 的变化， 就是 3/5， 这就是这条线的斜率， 也就是这个函数在 2 这一点的导数， 因为这是在 x 等于 2 时的切线。 我们再做一个 函数 g 的题目。 题目给出， g(-1) = 3， g ’(-1) = -2 g 的图像在 x 等于 -1 的切线方程是什么？ 好，再来一次， 我想画出它的图像会很有帮助。 所以， 我们有 y 轴， 有 x 轴， 我们来看， 我们给定的函数 g ，g(-1) 等于 3， 所以，点（-1，3）在函数曲线上， 这是 -1， 我们有 1， 2， 3， 它就在这里， 就是这个点。 这是点（-1，3）， 它在我们的函数曲线上， 我们还知道 g '(-1) 等于 -2， 所以这条切线的斜率， 在我们的函数的这一点上 是 -2， 这是题目告诉我们的。 这条切线的斜率， 在 x 等于 -1 时，等于-2， 我可以用这些信息， 画出切线， 我看看我是不是能画出来， 我来看看我能不能画出来， 它看起来 我想它会是-- 我这样来画， 它要这样， 它的斜率是 -2， 它会看着是这样的， 我们看到，如果我在 x 正方向移动 1， 我们就会 在 y 方向向下移动 2， 这就是 -2 的斜率， 你会说，那么 g 在哪里？ 我们可以画出 g 的样子， g 或许看起来是这样， 或许就是这里这个样子， 这里是它的切线， 你可以让 g 在这一点之后做各种疯狂的事情， 但是我们真正关心的， 只是这条绿色的线。 有许多方法可以求解它， 你可以说，通常观察一条直线， 有许多不同的方法可以 定义一条直线的方程， 你可以说， 一条直线具有这种形式 y = mx + b , 这里， m 是斜率， b 是 y 截距， 我们已经知道这条线的斜率是什么， 它是 -2， 所以，我们可以说， y 等于 -2 乘以 x 加上 b ， 然后，可以解出 b ， 我们知道点（-1,3） 在这条线上， 这就回到你们的代数了， 你们或许几年前就学过了， 我们把 -1 和 3 代入， 当 y 等于 3， 3， 就等于 -2 -2 乘以 x 乘以 -1， 乘以-1 加上 b， 加上 b， 这样我们看到， 这是 -2 乘以 -1 就是 +2， 这样，如果你从两边减去 2， 你得到 1=b， 这样你就有答案了， 这就是这条直线的方程， y = -2x + 1， 你也可以用其他的方法来求， 你可以用 点-斜率方式来表示这条直线 或者你就用这种方法， 你可以采用标准的形式， 但是至少我的脑子喜欢用这种方法。