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正切线的导数

Sal解决了一些问题,答案将方程在某点的导数作为在此点的切线斜率。

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视频字幕

题目告诉我们, 一个函数 f 的曲线在 (2,3)这一点的切线 通过点 (7,6), 求 f '(2)。 每当你遇到这类问题, 观察它的图像都会有益。 你会想把它的图像画出来, 或者在脑子里想象它的图像。 但是,你不能看到我的脑子里, 我要把它画出来。 让我来 根据得到的信息画出图像。 这是 x 轴,这是 y 轴。 我们看相应于 (2,3)这一点, 和 (7,6)这一点。 我来画一下。 1,2,3,4 5,6,7 沿着 x 轴, 我要到 1,2,3,4, 5,6,沿着 y 轴, 就是这一点。 我们看到这里是(2,3), 我们做个记号, (2,3)就在这里, 这是(2,3) 我们还有(7,6)这一点, (7,6)就在这里, (7,6) 我们回忆一下题目是怎样说的, 题目说,函数 f 的图像 在这一点的切线 通过点(7,6), 如果这就是函数图像在这个点的切线, 它必须通过(2,3), 这是它唯一的和我们的图像相交的地方, 而它通过(7,6), 我们只需要两个点就可以定义一个直线, 所以这个切线就是这样的, 它看起来是-- 看我能不能把它-- 这样不行, 我来画一下, 它看起来应该是-- 哎,这样不准确, 我再试一次, 好了,这回可以了。 这条切线看着是这样的, 它与 f 在(2,3)相切, 并且通过点(7,6), 我们不知道 f 的其他信息, 但是我们可以想象 f 是什么样子, 我们的函数 f 可以是 我们的函数 f 可以是 它可以看起来是这样的, 它必须和这条线相切, 这条线必须和我们的函数 在这一点相切, 所以我们的函数 f 可以看着是这样, 当题目说,找出 f '(2) 时, 它实际上就是说 这条切线的斜率 在 x 等于 2 时是多少, 当 x 等于 2 时, 这条切线的斜率就是 这条线的斜率。 题目给我们 这条切线上的两个点, 所以我们必须找到它的斜率, 因为它就是 这个函数在这里的变化率, 也就是它的导数。 它就是这条切线的斜率, 因为,这就是切线。 我们来做一下, 我们知道, 斜率就是 y 的变化除以 x 的变化, 如果我们 从 (2,3)到(7,6), x 的变化 x 的变化 x 从等于 2 到等于7 , 所以 x 的变化是 5, 而我们的 y 的变化, y 的变化 我们从 y 等于3 到 y 等于 6, 所以 y 的变化是 3, 那么 y 的变化除以 x 的变化, 就是 3/5, 这就是这条线的斜率, 也就是这个函数在 2 这一点的导数, 因为这是在 x 等于 2 时的切线。 我们再做一个 函数 g 的题目。 题目给出, g(-1) = 3, g ’(-1) = -2 g 的图像在 x 等于 -1 的切线方程是什么? 好,再来一次, 我想画出它的图像会很有帮助。 所以, 我们有 y 轴, 有 x 轴, 我们来看, 我们给定的函数 g ,g(-1) 等于 3, 所以,点(-1,3)在函数曲线上, 这是 -1, 我们有 1, 2, 3, 它就在这里, 就是这个点。 这是点(-1,3), 它在我们的函数曲线上, 我们还知道 g '(-1) 等于 -2, 所以这条切线的斜率, 在我们的函数的这一点上 是 -2, 这是题目告诉我们的。 这条切线的斜率, 在 x 等于 -1 时,等于-2, 我可以用这些信息, 画出切线, 我看看我是不是能画出来, 我来看看我能不能画出来, 它看起来 我想它会是-- 我这样来画, 它要这样, 它的斜率是 -2, 它会看着是这样的, 我们看到,如果我在 x 正方向移动 1, 我们就会 在 y 方向向下移动 2, 这就是 -2 的斜率, 你会说,那么 g 在哪里? 我们可以画出 g 的样子, g 或许看起来是这样, 或许就是这里这个样子, 这里是它的切线, 你可以让 g 在这一点之后做各种疯狂的事情, 但是我们真正关心的, 只是这条绿色的线。 有许多方法可以求解它, 你可以说,通常观察一条直线, 有许多不同的方法可以 定义一条直线的方程, 你可以说, 一条直线具有这种形式 y = mx + b , 这里, m 是斜率, b 是 y 截距, 我们已经知道这条线的斜率是什么, 它是 -2, 所以,我们可以说, y 等于 -2 乘以 x 加上 b , 然后,可以解出 b , 我们知道点(-1,3) 在这条线上, 这就回到你们的代数了, 你们或许几年前就学过了, 我们把 -1 和 3 代入, 当 y 等于 3, 3, 就等于 -2 -2 乘以 x 乘以 -1, 乘以-1 加上 b, 加上 b, 这样我们看到, 这是 -2 乘以 -1 就是 +2, 这样,如果你从两边减去 2, 你得到 1=b, 这样你就有答案了, 这就是这条直线的方程, y = -2x + 1, 你也可以用其他的方法来求, 你可以用 点-斜率方式来表示这条直线 或者你就用这种方法, 你可以采用标准的形式, 但是至少我的脑子喜欢用这种方法。