牛顿、莱布尼茨和博尔特

这是一张Isaac Newton 的照片 著名的英国数学家、物理学家 这是一张 Gottfried Leibnitz 的照片 有名，但是可能没那么有名 或是应该，应该有名，著名的德国哲学家 和数学家，与牛顿是同一时代的人 这两位先生其实是 微积分之父 并且他们在十六世纪末完成了一部分--大部分的工作 而这位是Usain Bolt, 牙买加的短跑运动员 他还在做一些他力所能及的工作 早在2012年初，他就成了目前世界上跑得最快的人 或许也是从古到今跑得最快的 我想你还没猜到这三位先生间的关系 也许你认为他们之间没有任何共同点 但是他们都痴迷于一个同样的基本问题 这个基本的问题就是由微分学提出的 顺时变化率问题 而问题是，某物体瞬时变化率是什么？ 在这个博尔特的例子中，他在这一瞬间有多快？ 不只是他在最后一秒的平均速度是多少 或者他在接下来10秒的平均速度 他在现在这个时刻跑得有多快？ 这就是微分学的内容。 瞬间的变化率 微分学 牛顿本来把微分学叫做 “流数术” 实际上听起来有点更高端。 但这都是关于发生在这个瞬间的事。 想想为什么这不是一个能用传统代数学解决的 很简单的问题 让我们画张图 在这条轴上时距离 y等于距离 我也可以说d等于距离 但是我们能看到，尤其以后在微积分中 d还有别的意思。 我们就说y等于距离 这条轴上是时间。 我可以说t等于时间， 但我还是说x等于时间。 所以如果我们要画出博尔特跑的距离 作为时间的函数，在零时刻 他哪都没去 他就在起点那。 我们知道这位先生很擅长 在9.58秒内跑完100米 所以9.58秒后，我们假设 就在这几秒时间到了这时 他能跑完100米 所以有了这个信息，我们 其实能够知道他的平均速率 让我这么写，他的平均速率 就是他距离的变化量 除以他时间的变化量 使用这里的这些变量 我们说y是距离 所以这和y的变化量是同样的东西 除以x从这点到那点的变化量 这可能很像一些你在基础代数中 熟悉的东西 这时这两点间的斜率 如果我有一条连接这两点间的直线 这就是这条直线的斜率 距离的变化量就是这段 y的变换量等于100米 时间的变化量是这一段 时间的变化量等于9.58秒 时间从0开始，到9.58秒 另一种思考它的方法是，这段时间距离的增加 你肯能在代数课上听过 就是100米除以9.58秒 是100米除以9.58秒 很重要的斜率也就是变化率 或者你也可以把它看作这两点间的 平均变化率 你会看到，如果你用这些单位 它会给出速度的单位 这就是速度 如果我们也另外说明了方向 而且我们可以搞清楚那是什么 让我把计算器拿出来 让我把计算器拿到屏幕上来 我们在9.58秒内跑了100米 结果是10.4，我就算它10.4 它大概是10.4 然后单位是米／秒 这就是他的平均速率 我们马上会看到 平均速率和 瞬时速率会有哪些不同 它会和他在任何给定的时刻的速度 有什么不同。 为了对他有多快有一个概念 让我把计算器拿回来 这时以米／秒的单位， 如果你想知道他一小时能跑多少米 一小时有3600秒 那么他能够在3600秒跑这么多米 这就是他能跑的米数 如果他能在一个小时内都以那个速度跑 这就是他每小时能跑的米数 如果是多少英里／小时 大概1600，我不知道确切数字（1609米） 但大概每英里是1600米 所以我们把它除以1600 所以你看到这大概是比23多点 大概23.5英里／小时 这大概是 我这么写，这大概是23.5英里／小时 和汽车相比，不是特别快 但和我比，太快了 现在看看这和瞬时速度有什么不同 让我们想一个潜在的关于 他的随着时间变化的距离的图 他不会立刻就达到这个速率 他不会刚刚枪响就跑这么快 他不会全程都跑23.5英里／时 他会加速 所以一开始他会跑得慢一点 所以斜率会比平均斜率更低 他会跑得慢一点 之后他会开始加速 所以他的速率，你能看到这个斜率 会越来越陡，越来越陡，越来越陡 然后可能接近结束这里他开始有点累了 所以他与时间关联的距离 可能会变成这样的曲线 而我们在这里计算的就是 在这段时间内的平均斜率 我们能在任意给定的时刻看到 斜率其实不同 在开始时，他又比较慢的距离变化率 然后到了这里，他开始加速 看起来他的距离的变化率 可以被看作是 这一点的正切线的斜率 它看起来比平均斜率更高 之后他又开始减速 当你求出平均值，它是23.5英里／时 我查了一下，博尔特的瞬时速度 他的最大瞬时速度 其实接近30英里／时 所以这里的斜率可能是23之类的英里／时 但是瞬时的，他的最快的那点 在这9.58秒内接近了30英里／时 但你看到这并不是个没用的事情 你可以说，好，让我估计一下 这里的斜率 你可以这么做，说，好 这里y的变化量除以x的变化量是多少？ 你可以说，好，我取某一段x的变化量 并找出这段y的变化量 或者当我们经过那一段 你可以得到结果 但是那只是估计值 因为你看到这段曲线的斜率 不断变化 所以你要做的事是看看 当你的x的变化量变得越来越小 越来越小越来越小的时候会发生什么 当你的x的变化量变得越来越小越来越小时 你会得到越来越精确的估计值 你得到的y的变化量也会变得越来越小 越来越小越来越小 所以你要做的是 我们要深入并且 更严格的学习 你要取delta x（x的变化量）接近0的极限 得到y的变化量除以x的变化量的值 并且当你做这件事时 你能得到那点瞬时的变化率 你可以把它看作曲线在那点的 瞬时斜率 或者是曲线在那点的正切线的斜率 或者如果我们用微积分术语 我们把它叫作导数 所以瞬时斜率就是导数 我们用来表示导数的符号是dy／dx 这就是为什么我用字母y 然后你说，好 这和微分这个词有什么关系呢 好吧，微分这个词是有关 这个dy是一个微分，dx也是一个微分 并且一个使它概念化的方法是 这是一个无限小的y的变化量 除以一个无限小的x的变化量 通过得到很小很小的y的变化量 除以x的变化量，你能得到瞬时斜率 或者在这个例子里，就是博尔特 在这一时刻的瞬时速率 注意，你不能就把这个当作0 如果你把x的变化量当作0 你会得到的是无定义的结果 你不能除以0 所以我们把极限看作是接近0 我们会在以后的几个视频里 更严格的做出定义