证明幂法则

在本期视频中我想做的事情就是 来看一下幂法则 到底是不是合理的 我并不会尝试验证这个法则 但至少我会让幂法则应用起来更舒服 所以假设f(x) = x 那幂法则告诉我们f'(x) 会等于什么呢？ 其实x和x的1次方相等 所以在这里n的隐式函数等于1 然后我们把1放在前面 这就会变成1乘x的1减1次方（1x^(1-1)） 那么接下来就会变成1乘x的0次方 就等于1 所以这里就是1 那么现在，让我们画图来看看 这个答案理论上来讲行得通吗 好那现在让我们试试画个图像 这里是我的y轴 这里是x轴 然后让我画一下y = x 所以这里y等于f(x) 然后y等于x 好的，看起来大概就是这样子的 所以y等于x 或者说f(x)等于x 或者是y等于f(x) 现在，为了不让大家摸不着头脑 让我暂时叫这个东西f(x) 所以这里的f(x)等于我在这里画出的x 所以这个图像上的f(x)就等于x 而y等于f(x)同等于x 现在，让我来为导数画个图像 让我来画下f(x)的导数图像 而这个图像其实就是1 x的所有值都是1 无论x是什么，其值一定等于1 这和我们所知道的导数和斜率是一致吗? 这和我们所知道的导数和斜率是一致吗? 让我们先来看看这函数 这一点的切线斜率是多少？ 在这里，斜率会一直为1 在这里，斜率会一直为1 无论x是什么，斜率都只会是1 因为这是一条直线 那对于这条线，因为斜率是常数 所以斜率就等于1 在这个点上，它斜率是1 在另外一个点上，斜率也是1 这是一个我们求出来的比较有用的信息 现在，让我们看看斜率也许会有变化的地方 假设函数g(x) = x^2 根据幂法则，g'(x) 会等于什么呢？ 因为n等于2 所以这里就是等于2x^(2-1) 或者等于2x的一次方 也就是等于2x 那现在我们来看看这个合不合理 然后我也要尝试把这个画的 更准确一点 我看看我能画的多精准 这里是x轴、y轴 然后让我加一些东西 这里是1,2,3,4,5 1,2,3,4 1,2,3,4 那接下来g(x) 当x等于0时，函数等于0 当x等于1时，函数等于1 当x等于-1时，函数等于1 当x等于2时，函数等于4 所以这就帮助我们确定了 -- 1,2,3,4 这个线段 当x等于-2时，函数等于4 形成了一个抛物线 相信抛物线是你多年的老朋友了 啊我把点a画的有点高了 它看起来应该是这样的 哎其实我最后两个点画的都有点飘了 他们应该是在这里的 好的那图像看起来大概就是这样 好的那图像看起来大概就是这样 然后当你看到这里的时候 它看起来会是对称的 对称的 我觉得我把图像画的挺准确的了 好嘞完美 那这就是g(x)的图像了，g(x) = x^2 那现在让我们根据幂法则告诉我们的 来画一下g'(x)的图像 因为g'(x)等于2x 所以这其实就是一条穿过原点斜率为2的直线 看起来大概是这样的 当x等于1时，y等于2 当x等于2时，y或者g(x)等于4 那就是这样子 同样的让我尝试画条直线 就像这样 那么现在这个合理吗 如果你就是眼睛看的话 如果你来看这个点的话 然后你想到了去看看这条切线的斜率 让我把这个画上颜色吧 这条切线看起来是这样子的 它看起来有一个 合理的负斜率 这绝对是一个负斜率 当x等于-2时，g'(-2)等于 2 × (-2)也就是-4 所以这个就告诉了我们斜率 这里的斜率是-4 这条线段的斜率是-4 m = -4 看起来很正确 这是一个非常陡的负斜率 现在，如果在这里x = 0的时候 会发生什么呢？ g'(0)的导数告诉了我们 原本的函数g，在x等于0时等于2 × 0也就是0 这个看起来对吗？ 如果我们看到原本的抛物线的话 这个是合理的 这就是这条切线的斜率 而这条切线看起来是这样子的 我们在这个顶点上 而斜率看起来就是0 那如果我们在这里 当x = 2时，切线的斜率是什么呢？ 在这里，这条切线看起来像是这样的 看起来是一个很陡的正斜率 那根据幂法则，导数告诉了我们什么呢？ 这是一个很基本的问题 告诉我当x等于2时，切线g的斜率 我们已经解出来了 那就是2x 也就是2 × 2 = 4 这告诉了我们这块的斜率是4 然后斜率我用了m来表示 因为m一般来讲代表了斜率 那这条切线的斜率就是4 而这看起来 非常的合理 我希望你可以自己也试着求一下 希望你可以根据计算每一个点 来估计出斜率 然后你就会发现 幂法则会非常的合理并且有帮助