证明乘法法则

-本视频中，我想做的是 证明乘法规则 我们从导数的定义开始 所以，如果我有一个函数f(x) 如果我想求它的导数 按照定义 f(x)的导数是 当H趋近于0， f(x+h)减去f(x） 所有这些，除以H。 如果我们直观地想象这个 这个是切线的斜率，所有的这些 但是现在我想做一些 更有趣的事情 我想计算相对于x的导数， 但是不只是f(x)， 而是两个函数的乘积 f(x) 乘以 g(x) 如果我可以把它简化一下 它基本上就是乘法规则了 如果我们运用导数的定义 那就意味着我要在当H趋近于0时 来取极限 在H处，这个分母 这个分母，我会写一个大的 很长的有理式 在分母中，我们有一个h 然后，我们计算这个函数在x+h的值 所以，它会是f(x+h) g(x+h)，从这里，我要减去 这个f(x) 对不起，这个部分在x处的值 应该是f(x) 乘以g(x) 我在这里留白一下 待会你会看到这么做的原因 如果我计算这个在x处的值 这个是减法 f(x), g(x) 我到目前所做的，只是使用导数的定义 不是用在f(x)上， 而是f(x)乘以g(x) 所以，得到的是f(x+h)，g(x+h) 减去f(x)g(x) 所有这些除以h 当h趋近于0时的极限 那么为什么我要在这里留白？ 因为我这么写的方式 不是很容易进行计算 我不知道如何计算这个极限 看上去没有明显的方法 我下面要演示的， 我想，你可以把它看成一个戏法 我不能说这个是我原创的证明 也许，如果我花很长时间的话，会证明出来 我想，有人摸索了很久 然后说，等下 如果我在这里加上和减去同样的项 我们就可以开始计算了， 然后得到我们所知道的 称为典型乘法规则的部分 那么我要加上和减去什么项？ 我提示你一下 如果我们这里加上一个项 实际上，让我换一下 减去f(x+h), g(x) 我不能只是减去它，如果我减去它， 我必须得把它加回来，这样 表达式的值才不会变化 所以，加上f(x+h)，g(x) 我没有改变它的值 我加上和减去了同样的项 但是现在这个部分可以开始计算了， 以一种有趣的方式来得到 我们所喜欢的乘法规则 如果过程中你有想法的话， 我鼓励你暂停视频试着自行解答 我们继续， 继续来探索这个表达式 所有这些等于 等于是当h趋近于0的时候 这个极限的值 所以首先我们要做的是 我们来处理这个部分 表达式的这个部分 特别地，我们看一下， 我们把f(x+h)提取出来 如果把f(x+h)提取出来 这里这个部分， 就会是f(x+h) f(x+h) 乘以 剩下的是g(x+h) g——我换绿色来写 g(x+h)， 这里 减去g(x) 减去g(x) 我忘掉了括号 换个颜色 我现在这个新的软件 很难换颜色 抱歉。这个不是一个很直接的证明过程 至少，我可以容易地换颜色 好，g(x+h) 减去g(x)，这里这个项 然后，所有这些除以h 所有这些除以h 这里这个部分 然后这里的这个部分 这里这个部分，实际上是要除以h 我把它圈出来 这里这个部分， 我可以把它写成 我们得到 实际上，让我 把g(x)提取出来， 所以，加上g(x) 加上g(x)乘以f(x+h) 乘以f(x+h) 减去f(x) 减去这个f(x) 所有这些除以h 所有这些除以h 现在，从极限的性质我们知道， 所有这些的极限 就等于是 当h趋近于0时，这个的极限 加上，当h趋近于0，这个的极限 然后，乘积的极限 等于是这些极限的乘积 所以，如果我运用这些极限的性质 我可以把所有这些写成极限的形式 我找些空间出来 当h趋近于0，f(x+h)的极限， f(x+h)的极限 乘以，当h趋近于0时 所有这些的极限 g(x+h)减去g(x) 减去g(x) 所有这些除以h 我想你看到了后面 如何证明了 加上 加上这个极限 让我写清楚一些 加上当h趋近于0，g(x)的极限 棕色的g(x) 乘以，现在我们这里有乘积了 当h趋近于0时 f(x+h)的极限 它的极限 f(x+h)减去f(x) 减去f(x) 所有这些 所有这些除以h 我把括号放到合适的位置 这个 这个 这个 这个 这个，极限 这个和的极限 这些极限的和 它是这个的极限 加上这个的极限 然后，这个乘积的极限 等于是极限的积 我在这里运用了极限的性质 但是我们把它们计算一下 极限是什么 我换不同的颜色 这里这个部分是什么？ h趋近于0的时候，f(x+H)的极限 这个就是 f(x) 现在，激动人心的事情到了 这个是什么? 当h趋近于0的时候，g(x+h) 减去g(x) 除以h 这个就是 我们导数的定义 这个是g的导数 它会是 它会是g(x)的导数 也就是g'(x) g'(x) 所以是这两个的相乘 你会得到， 加上 当h趋近于0时，g(x)的极限是多少？ 这里都没有h 它会是g(x) 所以，加上g(x) 乘以这个极限 让我看看，这个是棕色的 最后一个，我换黄色 乘以当h趋近于0时，这个极限 我们快证明完了 马上结束了 当h趋近于0，f(x+h)的极限 减去f(x) 除以h 这个就是f(x) 导数的定义 这个是f'(x) 乘以f'(x) 就是这样 f(x)和g(x)的导数相乘 如果写的更紧凑一些 它等于 它等于f(x)乘以 g(x)的导数， 乘以g(x)的导数， 加上 g(x) 加上g(x)乘以f(x)的导数 f相对于x 另外的思考的方式是， 这个是第一个函数乘以第二个的导数 加上第二个函数 乘以第一个的导数 这个是一种证明的方式， 当然还有其他乘法法则的证明