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证明平方根函数的幂法则

Sal给出了当 n=½(即 √x的导数)这个特殊案例的幂法则的证明。 Sal Khan 创建

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有人要求讲一下 证明√x的导数 所以这集快速证明一下 √x的导数 由导数的定义可知 函数√x的导数 换颜色 更多样一些 它等于Δx趋于0时的极限 有人也说h趋于0 或d趋于0 这里用Δx Δx趋于0时 然后f(x+Δx) 此处这是f(x) 所以它是√(x+Δx)-f(x) 此处即√x 整体/x的变化量Δx 现在看这个式子 还不能化简 使它变得适于分析 那么分子和分母同乘以 分子的共轭根式 什么意思呢? 把它写下来 Δx趋于0时的极限 把这再写下来 即√(x+Δx) -√x 整体/Δx 换颜色 将它乘以 √(x+Δx) +√x 除以 √(x+Δx)+√x 这只是1 显然可以相乘 假设x和Δx都不为0 这是一个定值 为1 可以相乘 这是1/1 将它乘以这个式子 得到当Δx趋于0时 这是(a-b)(a+b) 在这旁边列出来 (a+b)(a-b) =a^2-b^2 这是(a+b)(a-b) 所以它等于a^2 那么这个量的平方是什么 两个都可以 都代表a 是x+Δx 那么得到x+Δx 然后b^2呢? -√x类比为b 那么(√x)^2=x 整体/(Δx・ (√(x+Δx)+√x)) 看看怎么化简 这里有x和-x 两者抵消了 x-x 然后分子和分母上剩下的 都有Δx 分子和分母同除以Δx 都变为1 所以它= 写的小点 因为没地方了 =Δx趋于0时的极限 1/ 显然只有假设Δx-- 一开始除以Δx 所以它不为0 只是趋于0 那么得到√(x+Δx) +√x 现在直接求Δx趋于0时 它的极限 只需设Δx=0 即趋于0的含义 那么等于1/√x 对吗?Δx=0 可以忽略 取其极限一直到0 然后这显然还是√x +√x =1/(2√x) =(1/2)x^(-1/2) 刚才证明了x^(1/2) 的导数为(1/2)x^(-1/2) 它跟一般情况一致 即求导 x^n的导数为 n・x^(n-1) 即使此处n=1/2 也是合乎情况的 未就所有的分数都给出证明 但这是开始 这是常见的一个 √x 好在证明起来不很复杂 下一集再见