证明正整数幂的幂法则

我之前录了几个关于二项式定理的视频 现在我想 现在正是时候 证明一般形式的导数 让我算算 x^n 的导数 现在我们了解了二项式定理 我们可以着手解决这题 我们是怎么取导数的？ 嗯 导数的定义是什么？ 它是当 delta x 趋近 0 f(x+delta x) 的极限 对吗？ 所以在这里 f(x+delta x) 是 (x+delta x)^n 对吗？ 减去 f(x) 而在这个例子是 x^n 全部除以 delta x 现在我们知道二项式定理 我们可以算出 (x+delta x)^n 展开后会是怎样 假使你不太清楚什么是二项式定理 你可以去我的微积分预修的视频列表里 观看关于二项式定理的视频 二项式定理告诉我们这等于—— 我需要多一点空间—— 当 delta x 趋近 0 时的极限 而什么是二项式定理？ 这将等于——我先只算分子—— x^n 加上 n 选 1 让我重复一次 如果你觉得我在对牛弹琴的话 快去温习二项式定理吧 n 选 1 的 x^(n-1)*(delta x) 加上 n 选 2 的 x^(n-2)*(delta x)^2 加上接下来的很多项 在这个证明 我们不需要全部都算出来 二项式定理可以告诉我们 它们等于什么 当然最后一个号码是 1 n 选 n 会是等于 1 让我把它写下来吧 n 选 n 这是 x^0 * (delta x)^n 所以这就是二项式展开式 让我们回到前面这儿 算算这用绿色字写的项 那将是 (x+delta x)^n 所以减去 x^n 这是 x^n 我知道我把它写得很扁 这全部除以 delta x 瞧瞧我们能不能简化这个式子 首先我们在这有个 x^n 而在后面这儿我们减去 x^n 所以这两项抵消 如果我们仔细看这儿的每一项 在分子的每一项 都有个 delta x 所以我们可以把分子和分母 同时除以 delta x 这和 1/delta x 乘于这整项 是同样的东西 所以这等于当 delta x 趋近 0 时的极限 因此我们上下除以 delta x 换句话说 把分子乘于 1/delta x 我们得到 n 选 1 乘于 x^(n-1) delta x/delta x 等于什么？很简单 是 1 加上 n 选 2，x^(n-2) 这是 delta x 的平方 但是之前我们除以 delta x 了 所以我们只剩下 delta x Delta x 然后我们会有一堆项在这儿 我们统统除以 delta 最后一项是 (delta x)^n 但因为我们除以 delta x 了 所以最后一项是 n 选 n，x^0 = 1 我们可以不管它 (delta x)^n 除以 delta x 嗯 就等于 (delta x)^(n-1) 我们到底在做什么呢？ 记住 我们在取当 delta x 趋近 0 时 这式子的极限 当 delta x 趋近 0 时 几乎每一项都有 delta x 所以这等于 0 当你乘任何东西以 0 的时候 结果都是 0 第一项没有 delta x 但其余的项都有 其余的每一项 即使我们都除以 delta x 了 都还会有 delta x 所以等于 0 每一项都是 0 这 n-1 个项都是等于 0 我们只剩下这项 n 选 1 乘于 x^(n-1) 而 n 选 1 等于什么？ 这等于 n!/1! 再除以 (n-1)! 整项乘于 x^(n-1) 1 阶乘是 1 如果我有 7!/6! 那等于 7 或者说如果 3!/2! 结果是 3 你可以算算看 10!/9! = 10 所以 n!/(n-1)! 那将等于 n 所以这等于 这就是 x 的 n 次方的导数 n*x^(n-1) 我们刚证明了这导数 当 n 为任意正整数时 x^n 当 n 是任意正整数 在之后的视频 我们来看看 这推算的结果是不是适用于任何实数和指数 我们会在未来的视频见 另外一件事情 我刚说了 我们需要先了解二项式定理 但是如果你仔细想想 我们其实不需要知道那个定理 因为我们知道在任何的二项式展开中 嗯 我是说你当然需要知道一点点 但是如果你做些小实验的话 你会发现每当你展开 (a+b)^n 时 第一项是 a^n 第二项是 n<i>a^(n-1)</i>b 你会得到一堆的项 但是这些是和这个证明相关的项 因为其它项都会互相抵消 当 delta x 趋近 0 所以如果你只是知道这个 你可以这么做 当然有了二项式定理 证明会比较方便 如果你感到混淆的话 别管我刚才说的 我只是说我们可以把这些其余的项 当成是 0 无论如何 希望你能觉得我的解释周全 我们在之后的视频再见