某点的可导性：代数（函数可导）

下面给出的函数在x = 3处 是可微分的吗? 他们是分段定义的 我们有一些选择 连续的,没有可微的 可微的,而不是连续的 既是连续的又是可微的 既不是连续的，也不是不可微的 现在我们可以一开始就干掉其中一个 为了可微，你必须是连续的 你不能有可微但不连续的 我们把这个排除掉 现在我们来考虑连续性 首先考虑连续性 坦白说，如果它不是连续的 那么它是不可微的 我们想一下 为了连续，f(… 用更深的颜色 F(3)必须等于 当x趋于3时F (x)的极限 f(3)是多少? 我们看一下，我们已经到了这里， 因为x等于3，所以6乘以3等于18 减去9等于9，所以这是9。 所以当x趋于3时f (x)的极限 应该是9 首先考虑从左边 逼近时的极限 x趋于3时的极限 X从f (X)的左边趋于3 当x小于3时 就变成了这种情况 f (x)就等于x ^ 2 这是有定义的 并且对所有实数都是连续的 所以我们可以把3代进去 所以这就等于9 那么当f (x)从右手边趋近3时 的极限是多少? 当我们从右边靠近时 这个是 f (x) = 6x - 9 我们只写6x - 9 再一次，6x - 9是有定义的 并且对所有实数都是连续的 我们可以在这里放一个3 得到18 - 9 这个也等于9 所以右手和左手 左手和右手的极限都是9 等于这个函数的值 所以它肯定是连续的 所以我们可以排除这个选项 现在我们来考虑一下可微性 所以为了可微 所以是可微的 为了使极限可微 当x趋于3时 f (x) - f (3) / (x - 3)必须存在 我们看看能不能算出这个 首先，我们知道f(3)是多少 F(3)我们已经算过了 这是9 我们看看能不能求出这个极限 或者我们看看 当我们从左边或右边逼近时的极限 如果它们接近同样的东西 那么它们接近的是一个极限 首先考虑极限 当x从左边趋于3时 除以(x - 3)得到f (x - 9) 但是当我们从左边逼近时 这是当x小于3时的f (x) F (x) = x ^ 2 这就不是f (x - 9) 我写x²- 9，x²- 9 这是一个平方差 这是(x + 3) (x - 3） (X + 3) (X - 3） 这两个消掉了 我们可以说它等于x + 3 只要x不等于3 没关系，因为我们从左边接近 当我们从左边靠近时 X + 3对所有实数都有定义 它对所有实数都是连续的 我们可以把3代进去 得到6 现在我们试着求 从右边逼近时的极限 还是f (x)但是当我们从右边逼近时 f (x) = 6x - 9 这就是f (x) 然后是- f(3)也就是9 所以是6x - 18 6x - 18 也就是6乘以(x - 3） 当我们从右边靠近时 这就等于6 看起来我们的导数是存在的 它等于当x趋于3时所有这些的极限 因为这个等于6 因为极限是从左边逼近的 右边也等于6 看起来我们是连续的 可微的