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某点的可导性: 图形

小萨给出了几个函数在某些点上不可导的例子。

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视频字幕

函数 f 的图像如下。 它在点 3,0 处有一条竖直方向的切线, 3,0 处有一条竖直切线,我画一下。 这里有一条竖直切线, 还有一条水平方向的切线, 过点 0,-3。 0,-3, 所以在这里有一条水平切线, 还有一条水平切线,过点 6,3。 6,3,我把水平切线画出来, 就是这条线。 在下列哪些 x 值处,f 不可导? 请全部选出来。 f 撇,f 撇。 我写的简单些。 我们说,f 撇不存在, 是由三种情况导致的。 第一种情况, 我们有一条竖直切线, 竖直方向的切线。 为什么竖直切线就表示 这里的导数无法定义呢? 请记住,我们求导是为了 来计算 y 的值相对于 x 的变化率, 但如果有竖直切线, 就意味着你的 x 变化很小一点, y 的变化量就是无穷大了, 不管是正无穷还是负无穷。 这就是第一种没有导数的情况。 题目告诉我们这里有一条竖直切线, 在 x 等于 3 处, 所以, 在 x 等于 3 处,f 不可导, 因为这是竖直切线。 那么水平方向的切线呢? 水平切线完全没问题。 水平切线表示这里的导数等于 0。 f'(6) 等于 0。 f'(0) 等于 0。 其他的情况呢? 导数不存在的另一种情况 就是在图像不连续的地方。 不连续。 我们看这里,x 等于 -3 处, 图像是不连续的。 x 等于 -3 处是不连续的。 这就是选项中所有不可导的位置了。 我们不知道图像在左边或右边是什么情况。 这两个位置其实也有讨论的必要, 但它们并不在选项里。 我们说过,当 x 等于 0 时,导数为 0。 是有定义的。 这里是可导的。 当 x 等于 6 时,导数也等于 0。 这里有个水平切线。 所以这里也是有定义的。 我们再来做一道题。 其实这里我还没写完, 虽然已经足够解决这道题, 但还是有第三种情况, 这种情况,我把它叫做急转弯。 急转弯, 这个词不像数学语言定义得那么精确, 但它很好理解。 急转弯就像是这样, 或者是,不对,这个弯不够急, 或者像这样。 为什么当我们看见这种急转弯 而不是这种平滑的转弯时, 为什么在这里就不可导呢? 是因为我们在趋近这个点时, 从两个方向趋近这个点时, 会得到不同的斜率。 注意这里我们的斜率是正的, x 增大时,y 也增大, 而这里的斜率是负的。 我们要计算趋近于这个点时斜率的极限, 这个极限就不存在, 因为左极限和右极限不相等。 所以急转弯不可导, 但这道题里没有急转弯。 我们看下一道题。 这道题有一些急转弯点, 这就有趣了。 左边是函数 f 的图像。 它有一条竖直的渐近线,位于 x 等于 -3 处, 我们可以看到, 而在 y 等于 0 处是一条水平渐近线。 曲线这一段,x 趋近于负无穷时, y 看上去是趋近于 0 的。 在 y 等于 4 处还有一条水平渐近线。 当 x 趋于正无穷, 图像就趋近于 y 等于 4。 在下列哪些 x 值处,f 不可导? 首先,我们可以考虑竖直切线。 好像这里没有竖直切线。 然后我们再考虑不连续的点。 在这个竖直渐近线处, 肯定是不连续的。 所以在 x 等于 -3 处不连续, 在 x 等于 1 处也不连续。 然后看最后一种情况, 在急转弯处不可导, 或者说在尖点处,函数不可导, 这里就是一个尖点。 注意当我们从左边趋近这个点, 斜率是个常数,我看看, 斜率应该是正的 3/2, 而当我们从右边趋近它时, 斜率是负的。 我们要计算从两个方向逼近时 斜率的极限, 实际上也就是要计算这个点的导数, 就会发现它不存在, 因为两个方向趋近不同的值。 f 在 x 等于, 在图像的尖点处,它也不可导。 如果要画出导数的图像, 以后我们会画, 你会看到,导函数的图像 在这个点不连续。 我把它选上。 然后我们再检查一下 x 等于 0, x 等于 0 完全没问题。 这一点的切线,很明显不是竖直的, 而且在这一点也连续, 在这一点也没有一个尖, 所以 x 等于 0 处可导,完全没问题。