估计导数

所以我们被告知这个表格 给予了函数f的可选值 所以他给了在一些x的值中，实际上五个不同的x的值的函数的值 这告诉我们对应f(x)的值是什么 接着他们说，哪个值是对f'(4)的最好估计？ 所以这就是我们函数f的导数 当x等于四时 或者换种方式思考它 当f(x)的x等于四时这段切线的斜率 所以哪个值是我们基于这个表格做出的对f'(4)的最好推测？ 所以，甚至在我们阅读选项之前，我们将情况可视化 所以让我在这画点坐标轴 并且让我画出这些点 我们都知道这些在曲线上的Y 等于f(x) 当x等于零时，f(x)等于72 所以这里是点（0,72） 这是点（3，95） 显而易见的是，横轴与纵轴的尺度是不一致的 这是点（5,112） 这是（6,77） 这是（9,54） 让我写出（横坐标） 这是1,2,3 4,5,6 7,8,9， 和10 现在他想让我们知道 当x等于4时我们函数的导数是多少（求f'(4)的值） 好的，他甚至都没告诉我们在x等于4时f(x)的值 我们不知道那个点是怎样的 但他们试图教我们做的是 好的，我们试图找出最好的推测 并且运用这些点，我们甚至不知道 那些曲线的确切形状 它可以是各式各样的东西（数值随机） 我们可以试图画个合理的光滑曲线 曲线应该长得像这样 它可能会更古怪 但它也可能就是这样 让我尝试画下 它大概长得像这样 所以我们不得而知，那是当然的 我们所知道的是 它将穿过这些点 因为他们刚刚在这些函数上采了样点 但我们只是为了（完成）这个练习， 我们把它想的简单点 我们说着曲线是个没有过多扭曲与转折的 完美的光滑的曲线 它穿过这些点，就像那样 所以他们在问，好吧， 当x等于4时， 如果这个黄色曲线是确切的曲线， 那么过该点的切线的斜率是多少 让我们将之可视化 现在应该清楚了 我刚画的这个切线 仅是针对于我刚刚画的连接这些点的函数（图像）的 （那意味着）它不一定是实际上的函数 我们知道实际上的函数也穿过了这些点 但我仅仅是出于可视化的目的而为 众多想法之一的是 我们确实有这些样点 并且我们要最好地估测 我们不知道， 它是否是最好的预测 它将成为最好的预测 所以当我们仅有这些数据时，我们一般会这么做 让我们用些最靠近那点的一些点的数据 来找到该切线的斜率 （要）非常靠近那点的 那将给我们关于这条切线斜率的最好的推测 所以靠近(4,f(4))的有哪些点呢 所以他给了我们 当x等于3时f(x)的值 他给了我这个点，就在这儿 让我换个颜色 所以是(3,95) 那就是在这的点 并且他也给了我们（5,112） 那就是这些点 所以我们可以做的是 我们会说，好吧，两点间的平均变化率是多少 思考它的另一种方式是 两点间切线的斜率是多少 接着，那将成为我们对当x等于4时切线的斜率的最好推测 我们知道那是个好的估测吗 甚至，我们知道它靠近吗？ 不，我们当然不知道 但那将成为我们最好的估测 它将比你在取x等于3，和x等于6时的平均变化率 或x等于0，和x等于9时的平均变化率准确得多 这两点非常靠近4 所以，让我们动手吧 让我们找到x从3变化到5时的平均变化率 所以我们可以看到这 我们在x上的变化 让我换个颜色 所以这里关于横坐标的变化等于2 并且我可将之画出 我在这里关于x轴的变化是+2 并且，随着x的变化，在y轴上的变化将会是 加上，让我们看下 这是，如果我加上10 它将是105（口误） 如果我加上另一个7 所以这是17 让我们在这写下+17 +17 接着让y轴上的增值除以x轴上的增值 y轴上变化 除以x轴上变化 是为了（算出）x等于3与x等于5时切线的斜率 将是17/2 17除以 2 将等于8.5 所以这个绿线的斜率将是8.5 并且那将成为当x等于4时y等于f'(x)间切线斜率时，我们最好的推测 所以，我们是幸运的 出题人和我们 有相同的逻辑 所以你不必像我一样画图分析 我仅是为了让我们看到我们在做什么 一般地，如果你见到像这样的问题 看，为了求出f'(4),你并不需要知道所有数据 但如果你可以找到靠近f'(4)的点 并且找到切线，切线的斜率 或者这些点间的平均变化率 它将成为我们最好的推测 对于x的瞬时变化率 或者说当x=4时求导