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主要内容

证明 sin(x) 和 cos(x) 的导数法则

证明 sin(x) 的导数是cos(x),cos(x) 的导数是 -sin(x)。
三角函数sin(x)cos(x)在微积分里很重要。以下是它们的导数:
ddx[sin(x)]=cos(x)ddx[cos(x)]=sin(x)
AP微积分课程不要求我们证明这一事实,但我们相信只要可以证明,我们就可以从中学习。一般来说,能够用某种证明去证实学到的定理是对的,总是好的。

首先,我们要求两个很特别的极限值,在证明里需要用到的。

1. limx0sin(x)x=1

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Limit of sin(x)/x as x approaches 0查看视频字幕

2. limx01cos(x)x=0

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Limit of (1-cos(x))/x as x approaches 0查看视频字幕

现在我们已经准备好去证明sin(x)的导数是cos(x)

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Proof of the derivative of sin(x)查看视频字幕

最后,我们可以利用一个事实,即sin(x)的导数是cos(x),去证明cos(x)的导数是sin(x)

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Proof of the derivative of cos(x)查看视频字幕

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