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主要内容

正弦和余弦的微分

Sal老师 示范 g(x)=7sin(x)-3cos(x)-(π/∛x)² 的求导过程。我们可以使用幂法则还有 正弦和余弦的导数法则。

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视频字幕

我们想找到 这个 g(x) 的导数 第一眼看上去这有点吓人 我们有 sin(x) 也有 cos(x) 这里有一个狂野的表达式 π / ∛x 我们要这整块的平方 这第一眼看上去可能有点吓人 不过我们会在这视频里看到 我们基本上可以用已经学过的知识解开它 使用我们现有的导数属性 使用我们所知道的求导的法则 那会告诉我们关于 x 的导数 [x^n] 等于 n * x^n-1 我们曾多次见过它 我们也需利用以下事实 cos(x) 的导数 是 负sin(x) 另一种方法 关于 x 的导数 sin(x) 等于 正cos(x) 所以我们可以只用那个来解开这个 或者解开 g(x) 导数 所以,暂停视频,然后自己试试 大概这里最可怕的部分 因为我们知道 sin(x) 和 cos(x) 的导数,是这部分 我们可以只重写这个 或者稍微把它简写为一个 你可能更加熟悉的形态 让我只做这个 就在这边 π π / ∛x 的平方 这等同于 这等于 π^2 / (∛x)^2 这只是指数的属性 正在与我们打交道 所以这是一样的 我们要把 ∛x 然后将其提高到二次方 所以那等于 π^2 除以 让我这样写 我不会跳过任何步骤 因为这是对指数属性的一个很好的回顾 (∛x )^2 等同于 π^2 除以 x^(2/3) 等同于 π^2 * x^(-2/3) 当你像这样写 它开始进入了一个公式 你就会,哦,我可以看到求导的法则 怎样在那运用 所以这个东西就只是 π^2 * x^(-2/3) 让我删除这个 所以 这个东西 可以被重写 这个东西可以被重写 为 π^2 * x^ -2/3 现在就取 这个表达式中每一块的导数 我们要取 我们想知道 g(x) 导数是什么 所以 g(x) 导数 会等于 你可以把它看作是 7sin(x) 相对于 x 的一个导数 所以 我们可以做导数运算 在两边,只为了弄清楚 我们在做什么 所以我们要把它运用在那里 我们要把它运用在那里 我们要把它运用在 那里 所以这个导数 这等同于 这会是 7 * sin(x) 的导数 所以这就会是 7 * cos(x) 这边这一个 这会是 3,或者我们正在减 这会是这减去 这减 我们可以把常数取出 把那乘以我们的表达式 然后 cos(x) 的导数 所以它是 -3 * cos(x) 的导数 是 -sin(x) -sin(x) 最后 我们只需要在黄色上运用求导的法则 所以,我们有 -2/3 事实上,请谨记这个负号 我要将它在这里写下 所以你有 -2/3 你把 指数 乘以 系数 他可能看上去很麻烦,π^2 不过它只是一个数字 它会是 负 然后你就有了 -2/3 * π^2 * π^2 * x^(-2/3) - 1 次方 -2/3 -1 次方 那会是多少呢? 我们有 g(x) 导数 等于 等于 7cos(x) 让我看看,我们有 -3 * -sin(x) 那会是 正3sin(x) 然后 我们有,我们正在减 不过这会变负数 所以那会是正数 所以我们能说 + (2π^2) / 3 (2π^2) / 3 那是这个部分 * x 的 次方 -2/3 -1 我们可以说 -1 2/3 或者我们也能说 -5/3 次方 -5/3 次方 然后你就得到了 我们成功解决了这件 看起来挺棘手的事情 可是我们只需使用求导的法则 加上已知的 cos 和 sin 的导数