给乘积求导

我们来看看 怎样求解e的x次方和cos(x)关于x的微分。 还是像往常一样，请暂停本视频， 在我们一起求解前先自己试试。 看到本题，你可能会说 “好吧，我知道如何求解e的x次方的微分。 事实上，结果就是e的x次方”。 让我把它写下来。 我们知道这样几点： 我们知道e的x次方关于x的微分。 e的x次方的微分是e的x次方。 我们知道如何求解cos(x)的微分。 cos(x)关于x的微分 等于-sin(x). 但是，如何求解它们乘积的微分呢？ 正如你想象的， 这涉及到乘积法则。 这里我首先写下 乘积法则的一般形式。 我们来看如下乘积的微分 第一项是u(x) 我们用它去乘以另一项, 即u乘以v(x)。 结果是， 我会用不同的颜色来表示 这样我们可以分清哪个是哪个。 结果是第一项的微分。 我把它写作u’(x) 乘以第二项， 注意不是第二项的微分。 所以乘以v(x)， 再加上第一项，注意并非其微分。 只是第一项。 即u(x)乘以第二项的微分。 乘以第二项的微分v’(x)。 你可以这么记： 如果这里乘积有两项， 对应的微分结果你将会得到两个不同项。 在一项里， 第一个乘积项是微分，而另一个乘积项是非微分项， 在另一项里，第二个乘积项是微分， 而第一个乘积项是非微分项。 所以，u乘以v的微分是u’v加上uv’。 当你看这个公式， 好像有点抽象 甚至有点让人迷惑， 这就是为什么我们这里有一个具体的例子 我在这里特意用不同的颜色标记不同项。 我们让u(x)等于e的x次方。 v(x)等于cos(x)。 v(x)等于cos(x)。 而如果u(x)等于e的x次方， 我们知道e的x次方的微分 仍然是e的x次方。 这是数学中很神奇的事。 其中一件e函数特性的特别之处。 所以u’(x)仍然等于e的x次方。 而v’(x)， 我们知道是-sin(x), -sin(x), 那么这个等于多少呢？ 这等于 第一项的微分， 即e的x次方的微分， 也就是e的x次方，乘以第二项。 而非它的微分项，即乘以cosx。 加上第一项， 而非它的微分项，即e的x次方， 乘以第二项的微分。 即乘以cos(x)的微分 也就是-sin(x)。 -sin(x)。 好像有点让人糊涂， 因为e的x次方就是它自己。 这里这项是 e的x次方的微分 它刚好是e的x次方。 这正是e表达式或方程的神奇之处。 而这项只是e的x次方 而非它的微分，当然它们的表达式是一样的。 好了，我们现在来简化它。 结果是... 我们可以写作e的x次方乘以cos(x), 乘以cos(x)再减去 e的x次方乘以sin(x)。 乘以sin(x)。 或者，你可以提取公因数 e的x次方。 即写作 e的x次方乘以(cos(x)-sin(x))。 cos(x)-sin(x)。 希望这样可以让乘积法则更具体。 一旦你掌握了乘积法则， 我们可以开始探索更多的方程和表达式。