垂直于 y=𝑒ˣ/x²

函数 f(x) 等于 e 的 x 次方除以 x 平方。 在这个视频中， 我们要计算的不是它的切线方程， 而是在 x 等于 1 时的法线方程。 我们求的是法线方程。 建议大家暂停视频，自己先试试。 如果你需要一个小提示， 那么我给你的提示是 法线的斜率是切线斜率的负倒数。 比如说有个这样的曲线， 我们要找在这一点的切线， 应该是这样的。 切线应该是这样的。 而法线则垂直于切线， 这是切线， 法线与它垂直。 就是这样的。 如果它的斜率是 m， 那么它的斜率就是 m 的负倒数， 所以是 -1/m。 有了这个提示， 我建议你试着自己求出 曲线在 x 等于 1 处的法线方程。 好，我们先来计算切线斜率， 然后求它的负倒数， 这样我们就知道了法线的斜率。 为了要计算切线斜率， 我们只需要对它求导，然后带入 x 等于 1。 那么 f'(x)， 我先把原式变形一下。 f(x) 等于 e 的 x 次方乘以 x 的 -2 次方。 我喜欢这个形式， 因为我记不住导数除法法则， 我喜欢幂函数法则， 这就能用幂函数法则了。 抱歉，不是幂函数法则，是乘法法则。 所以这样就可以用乘法法则， 而不是除法法则。 所以它的导数，f'(x)， 就等于 e 的 x 次方的导数 还是 e 的 x 次方，乘以 x 的 -2 次方， 加上 e 的 x 次方乘以 x 的 -2 次方的导数， 也就是 -2x 的 -3 次方。 这里我用的是幂函数法则。 那么，如果我们要把 x 等于 1 带进去， 它就等于—— 我换个黄颜色， 我喜欢五颜六色。 它就等于，我们看， 它就等于 e 的 1 次方， 也就是 e，乘以 1 的 -2 次方， 还是 1，加上 e 的 1 次方，也就是 e， 乘以 -2， 1 的 -3 次方还是 1， 所以是 e 乘以 -2， 我这么写， 所以是减 2e。 然后 e 减 2e，最后等于 -e。 所以这个结果，就是我们的切线的斜率。 而我们想要的是法线的斜率， 只需要算它的负倒数。 那么它的负倒数，就等于 倒数是 1 除以 -e， 然后再负一次， 所以就等于 1/e。 这就是法线的斜率。 然后我们， 我们的目的不是只求法线的斜率， 我们要的是法线方程。 而我们知道一个直线方程 可以写为 y 等于 mx 加 b 的形式， 其中 m 表示斜率。 所以我们可以说，它就是 y 等于 1/e—— 记住，这是法线方程—— 乘以 x，再加 b。 要解出 b，我们想起来了， 这条直线过一个已知点。 它过点 x 等于 1， x 等于 1 时，y 等于多少？ y 等于 e 的 1 次方除以 1，也就是 e。 直线过点 （1,e）。 所以我们知道，x 等于 1 时，y 等于 e。 这样我们就能解出 b 了。 我们有 e 等于 1/e 加 b， 两边同时减去 1/e， 我们得到 b 等于 e 减 1/e。 当然也可以写成 e 平方减 1，再除以 e， 愿意的话可以这么写。 但就这样留着也没问题， 所以，法线方程是—— 激动人心的时刻就要到了—— y 等于 1/e 乘以 x，加 b， 再加 b，而 b 就是这个。 所以是加 e 减 1/e。 这就是我们的法线方程。