商法则的示例

设 f 为一个函数 f ( -1 ) = 3 且 f '( -1 ) = 5 设 g 为函数 g (x) = 2x³ 设 g 为函数 g (x) = 2x³ 设 F 为另一个函数 F(x) = f (x) / g(x) F(x) = f (x) / g(x) 求 F '( -1 ) 的值，即 F(x) 在 x= -1 的导数 求 F '( -1 ) 的值，即 F(x) 在 x= -1 的导数 我们可以这样做 先对 F 求导 然后在 x = -1处求值 F (x) 的公式已经建立了 是在这里给出定义的 是另外两个函数的商 如果想求它的导数 你可能会说 除法法则在这里就很重要了 我绝对挺你 除法法则，我现在就来讲 记住它可能会很有用 但万一你忘了 你也可以很快地从乘法法则推导出来 如果你知道链式法则 （用于求合成函数的导数） 如果你知道链式法则 （用于求合成函数的导数） 很快就能得到除法法则 现在我只讲除法法则 如果某个函数定义为 分子上的一个函数 除以分母上的一个函数 我们可以说它的导数—— （这实际上是除法法则的重述） 它的导数 F '(x) = 分子函数的导数，我写下来 d / dx [f(x)] d / dx [f(x)] 乘以分母函数 g (x) 再减去，分子函数 分子函数 f (x) 不求导 乘以 分母函数的导数 d/dx [g(x)] 用这个整体再除以 分母函数的平方 [ g(x) ] ² 你可以用不同的写法来表示 比如这里 不写成 d /dx [ g(x) ] 的话，你也可以写 g'(x) 同样地， 这里也可以写成 f '(x) 现在就是要对它求值 你可能会问：啊？咋求啊？ 好，咱们来试试 咱们就求 x = -1 时的 F '(x) 咱们就求 x = -1 时的 F '(x) 所以 F '( -1 ) = 下面只要看到 x 就代入 -1 这里就是 f '( -1 ) 这里是小 f 的函数，别和大F 的混了 f '( -1) • g( -1) - f (-1) • g '( -1) f '( -1) • g( -1) - f (-1) • g '( -1) f '( -1) • g( -1) - f (-1) • g '( -1) 整体除以，我换一样的颜色 我要认真使用颜色哈 好，这里整体除以 [g (-1)] ² 现在就可以先求出 f '(-1) f(-1) 、g(-1) 、g'( -1) 这些都是多少？ 有些题目已经告诉我们了 已知了 f (-1)、f '(-1) g(x) 的我们可以计算 来算一下吧 首先算 g (-1) g (-1) = 2 (-1)³ g (-1) = 2 (-1)³ 负1 的3次方还是负1 乘以2就是 负2 g'(-1) ，我写这边吧 我们用 幂法则，把 3 提出来 3 x 2 = 6，指数减1 3-1=2 所以 g'(-1) = 6 (-1) ² 负1 的平方是 1 g'(-1) = 6 现在我们已经知道 所有的值了 把值代入 f '( -1 ) 题目已给 f '( -1 ) = 5 题目已给 f '( -1 ) = 5 所以它就是 5 这里已经求得 g (-1) = - 2 这里已经求得 g (-1) = - 2 这里是负2 f ( -1 ) 题目已给 f ( -1 ) = 3 它就等于 3 然后 g'(-1) 我用绿色圈起来 已经求得 g'(-1) = 6 已经求得 g'(-1) = 6 它就是 6 最后这个 g (-1) 我们已经求出来了 等于 - 2 所以整体化简等于 5 乘以 -2， 得 -10 减去 3x6 得18 -10 -18 除以 -2 的平方 -2 的平方等于 4 所以这里等于 -28 / 4 = -7 这就是答案 这题猛一看有点唬人 但其实也没啥 我可以用除法法则啊 一旦应用了除法法则 我又可以直接求出 g(-1) 、g'( -1) 的值 我又可以直接求出 g(-1) 、g'( -1) 的值 而且已知了 f (-1) 、f '( -1) 所以就完成了，希望对你有帮助