割线：难题 2

本题问道：图中哪个点满足以下条件 f (x) 乘以它的导数 f '(x) 等于 0 如果已知两个数的乘积等于 0 那么就可以知道：这两个数当中至少有一个为 0 那么就可以知道：这两个数当中至少有一个为 0 我们先来看有没有任何一个点的 f (x) 为 0 我们先来看有没有任何一个点的 f (x) 为 0 我们看图上 f (x) 曲线的纵轴 我们看图上 f (x) 曲线的纵轴 我们可以记为 y = f(x) 有任何一个点的 y 值为 0 吗？ 这里是正数、正数、正数、正数、正数、正数 这里是正数、正数、正数、正数、正数、正数 这里递减 这里先递减 然后递增 然后又递减 在这里为 0 了 但这不是个选项点 而答题我们必须从标出的点里选一个 或者多选 现在我们只能来看 f '(x) 在哪里等于 0 了 我们先要提醒自己 f '(x) 代表什么 我们先要提醒自己 f '(x) 代表什么 f '(x) 代表切线在 x 处的斜率 f '(x) 代表切线在 x 处的斜率 例如，f '(0) 就是这里当 x=0 时，A点的斜率，会是一个负数值 就是这里当 x=0 时，A点的斜率，会是一个负数值 它是切线的斜率 同样地，f '(x) 当 x = 4 时，切线在这里 这条切线的斜率是个正数值 这条切线的斜率是个正数值 所以如果观察每个选项点 哪里的切线斜率会是 0 呢？ 斜率为 0 是什么样子呢？ 看起来就应该是个水平线 所以哪里的切线是水平斜率呢？ 唯一一个引起我 注意的是这里的 B 点 唯一一个引起我 注意的是这里的 B 点 看起来这里的切线会是个真正的水平线 看起来这里的切线会是个真正的水平线 另一种理解方法是函数的瞬时变化率 另一种理解方法是函数的瞬时变化率 在 x = 2 这里，这里的斜率看起来非常接近 0 了 在 x = 2 这里，这里的斜率看起来非常接近 0 了 所以在所有选项中 只有 B 点看起来像 x = 2 处的导数为 0 或者说 B 点的切线斜率为 0 所以这题我选 B 下面这题的表达式更雷人了 f (x) 减 6 再除以 x 该表达式的最大值是多少？ 我们必须来解读一下 这个 [ f (x) - 6 ] / x 到底表达了什么？ 这个 [ f (x) - 6 ] / x 到底表达了什么？ 我每次看到这种表达式 特别是在微积分课上 我会想，好吧，这看起来有点像求 割线的斜率 我会想，好吧，这看起来有点像求割线的斜率 事实上，我们所知道的导数就是求割线斜率的极限值 事实上，我们所知道的导数就是求割线斜率的极限值 这个看起来就像 特别是这个切入点，y 值为 6 这是 y 值的变化量 如果对应的 x 值为 0 那么这表达式就是 f(x) - 6 除以 x - 0 那在曲线上有 (0，6) 这个点吗？ 当然有啦 当 x = 0，可以看到 f (x) = 6 我来重新写一下这个表达式 可以重新写为 f (x) - 6 除以 x - 0 这是什么？ 表达式代表了什么？ 这就是一个斜率 我换这个颜色 两点间的割线斜率 一个点是 ( x , f(x) )，无论 x 对应的 f(x) 是多少 和另一个点，我们可以写为 (0，f(0) ) 因为 f(0) = 6，式子里的6可以写为 f(0) 因为 f(0) = 6，式子里的6可以写为 f(0) 或者我们就直接写为6 点 (0,6) 那我们就依次检验这些选项点 那我们就依次检验这些选项点 看每个点和 A 点之间的割线斜率 看每个点和 A 点之间的割线斜率 看每个点和 A 点之间的割线斜率 我画一下，A 和 B 点之间是相当负的斜率 记得我们是要找斜率的最大值 而这个是相当负的斜率 A 和 C 点之间负的没有那么大了 A 和 D 点之间负的更小了 但仍然是负的，只是负的比较小 A 和 E 点又负的大了一些 A 和 F 点的负的更大了 所以这些点与 A 点之间的割线斜率什么时候最大？ 所以这些点与 A 点之间的割线斜率什么时候最大？ 或者应该问负的最小？ 因为这里都是负值 所以应该是 D 点和 A 点 所以这个表达式的最大值在哪个点？ 我们答 D 点 在 D 点，x = 6 f (x) 大概是 5 又1/2 或者再大一点 代回表达式中，5又1/2 或小一点， 5又1/3 ，或大一点 减去 6，再除以 (6 - 0) 这就是我们能得到的最大值了 也是割线的最大斜率 （负的最小）