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割线:难题 2

小明将一个表达式理解为图形上特定点与该图形上的任何其他点之间的割线的斜率。 Sal Khan 创建

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本题问道:图中哪个点满足以下条件 f (x) 乘以它的导数 f '(x) 等于 0 如果已知两个数的乘积等于 0 那么就可以知道:这两个数当中至少有一个为 0 那么就可以知道:这两个数当中至少有一个为 0 我们先来看有没有任何一个点的 f (x) 为 0 我们先来看有没有任何一个点的 f (x) 为 0 我们看图上 f (x) 曲线的纵轴 我们看图上 f (x) 曲线的纵轴 我们可以记为 y = f(x) 有任何一个点的 y 值为 0 吗? 这里是正数、正数、正数、正数、正数、正数 这里是正数、正数、正数、正数、正数、正数 这里递减 这里先递减 然后递增 然后又递减 在这里为 0 了 但这不是个选项点 而答题我们必须从标出的点里选一个 或者多选 现在我们只能来看 f '(x) 在哪里等于 0 了 我们先要提醒自己 f '(x) 代表什么 我们先要提醒自己 f '(x) 代表什么 f '(x) 代表切线在 x 处的斜率 f '(x) 代表切线在 x 处的斜率 例如,f '(0) 就是这里当 x=0 时,A点的斜率,会是一个负数值 就是这里当 x=0 时,A点的斜率,会是一个负数值 它是切线的斜率 同样地,f '(x) 当 x = 4 时,切线在这里 这条切线的斜率是个正数值 这条切线的斜率是个正数值 所以如果观察每个选项点 哪里的切线斜率会是 0 呢? 斜率为 0 是什么样子呢? 看起来就应该是个水平线 所以哪里的切线是水平斜率呢? 唯一一个引起我 注意的是这里的 B 点 唯一一个引起我 注意的是这里的 B 点 看起来这里的切线会是个真正的水平线 看起来这里的切线会是个真正的水平线 另一种理解方法是函数的瞬时变化率 另一种理解方法是函数的瞬时变化率 在 x = 2 这里,这里的斜率看起来非常接近 0 了 在 x = 2 这里,这里的斜率看起来非常接近 0 了 所以在所有选项中 只有 B 点看起来像 x = 2 处的导数为 0 或者说 B 点的切线斜率为 0 所以这题我选 B 下面这题的表达式更雷人了 f (x) 减 6 再除以 x 该表达式的最大值是多少? 我们必须来解读一下 这个 [ f (x) - 6 ] / x 到底表达了什么? 这个 [ f (x) - 6 ] / x 到底表达了什么? 我每次看到这种表达式 特别是在微积分课上 我会想,好吧,这看起来有点像求 割线的斜率 我会想,好吧,这看起来有点像求割线的斜率 事实上,我们所知道的导数就是求割线斜率的极限值 事实上,我们所知道的导数就是求割线斜率的极限值 这个看起来就像 特别是这个切入点,y 值为 6 这是 y 值的变化量 如果对应的 x 值为 0 那么这表达式就是 f(x) - 6 除以 x - 0 那在曲线上有 (0,6) 这个点吗? 当然有啦 当 x = 0,可以看到 f (x) = 6 我来重新写一下这个表达式 可以重新写为 f (x) - 6 除以 x - 0 这是什么? 表达式代表了什么? 这就是一个斜率 我换这个颜色 两点间的割线斜率 一个点是 ( x , f(x) ),无论 x 对应的 f(x) 是多少 和另一个点,我们可以写为 (0,f(0) ) 因为 f(0) = 6,式子里的6可以写为 f(0) 因为 f(0) = 6,式子里的6可以写为 f(0) 或者我们就直接写为6 点 (0,6) 那我们就依次检验这些选项点 那我们就依次检验这些选项点 看每个点和 A 点之间的割线斜率 看每个点和 A 点之间的割线斜率 看每个点和 A 点之间的割线斜率 我画一下,A 和 B 点之间是相当负的斜率 记得我们是要找斜率的最大值 而这个是相当负的斜率 A 和 C 点之间负的没有那么大了 A 和 D 点之间负的更小了 但仍然是负的,只是负的比较小 A 和 E 点又负的大了一些 A 和 F 点的负的更大了 所以这些点与 A 点之间的割线斜率什么时候最大? 所以这些点与 A 点之间的割线斜率什么时候最大? 或者应该问负的最小? 因为这里都是负值 所以应该是 D 点和 A 点 所以这个表达式的最大值在哪个点? 我们答 D 点 在 D 点,x = 6 f (x) 大概是 5 又1/2 或者再大一点 代回表达式中,5又1/2 或小一点, 5又1/3 ,或大一点 减去 6,再除以 (6 - 0) 这就是我们能得到的最大值了 也是割线的最大斜率 (负的最小)