割线的斜率

我们来复习一下斜率这个概念 你可能还有点代数课上的记忆 斜率就是一条线的变化率 或者说在我们沿着一条线走时 y相对于x的变化率 你也可以把这看成测量 一条线的倾斜度的量 如果一条线越倾斜，那么它的 斜率更大 所以这里它是一个正的斜率 当x增长时，y也增长 然后假如它的倾斜度更高的话 或者说当x增加y增加得更多 这会有一个更大的斜率 所以这是某条线 这是某条线 然后再提醒一下， 我们可以 求两点之间的斜率 两点确定一条直线 然后在这两点之间，我们可以求 y相对于x的变化率 那我们在这放两个点 然后假设说这个点 x0 当x等于x0时 y等于y0 所以这是点x0,y0 然后我们假设这还有一个点 比如说这里的x值 是x1 然后这的y值是y1 所以这是点x1,y1 复习一下，这条线的斜率 根据定义，你在直线上任取 两点之间的斜率都是不变的 这条线的斜率，通常用m表示 是y相对于x的变化率 另一种说法是 给你一个x的变化量，y变化了多少？ 或者说y的变化量除以x的变化量 提醒你一下，这个三角形 是希腊字母德尔塔 这是表示变化量的缩写 所以y的变化除以x的变化 我们想想在这个例子里 这是多少 我们先看x的变化 我们从x0移到了x1 所以x的变化 这是我们x的变化量 我们从x0开始到了x1 这是x的变化 我用粉色写下来 这是x的变化量 这等于多少呢？ 假如我们在这结束，在这开始 我们用终点减去起点 x1减去x0 这么做能 保证我得到一个正数 假设x1大于x0的话 那y的变化量是多少呢？ 同样地，y的 终点减去y的起点 y1减去y0 现在你可能想说，我可以用 y0减去y1除以x0减去x1吗？ 当然可以 你可以这么做 然后你就会在分子和分母里 都得到一个负号 但是它们抵消了 关键是你要保持一致 假如你在分子是用起点减去 终点的话，那么你在分母也要 用起点减去终点 那到这里你可能从代数课上想起来了 斜率的定义就是 y相对于x的变化率 或者说纵坐标相对于 横坐标的变化率 或者说纵坐标y相对于 横坐标的变化率 现在我要开始介绍一个难题了 让我再画一个坐标系 稍微往这边滑一点这样 我们够地方 刚那是对于一条直线 根据定义，一条直线的斜率是常数 你在这条线上任取两点，它们 之间的斜率都是不变的 那假如我们开始有曲线了呢？ 或者说不是直线的曲线 那我们来假设一条长这样的曲线 那在这条曲线里，y相对于 x的变化率是多少呢？ 我们从不同的点来看看 至少我们可以估计它在 任何时候的值 假设这是曲线上的一点 称其为x1，然后这是y1 然后假设还有一个曲线上的点 在这里，x2 然后y2 这是点x1，y1，这是点x2，y2 我们现在还没有工具 但这正是微积分令人兴奋的地方 很快我们就会有能求出 在这个点上y相对于x 的变化率的对应工具了 但我们还没有这个工具 但是仅用代数的工具 我们至少可以开始想想 在区间x1到x2之间的平均 变化率是多少 平均变化率是多少呢？ 这就是y在x变化了 这么多之后的变化量 我们可以用同样地方法来算 y2减y1除以x2减x1 所以y在这个区间里的变化 等于y2减y1，x的变化 等于x2减x1 就这样我们可以 求得这两点之间的变化率 另一种看法是 这是这条曲线在x等于x1和x等于x2 之间的平均变化率 这是y在这个区间内相对于 x的平均变化率 但我们还求得了什么呢？ 我们求出了连接这两点的 直线的斜率 一条与曲线有两个交点的 直线叫什么呢? 我们称之为割线 这里这个就是一条割线 这里的主要目的是我们延伸了斜率的概念 我们说，好的，我们已经知道怎么求直线的斜率了 对于一条曲线，我们还没有对应工具 但是微积分很快就会给我们了 但我们先用代数的工具 我们可以至少求出一条曲线 或者一个函数在一个区间内的平均变化率 这就是一条割线的斜率 然后再稍微暗示一下 接下来会发生什么 我们怎样能最终得到能帮我们 求出瞬时变化率，而不只是平均 变化率的工具呢？ 那想象一下这个点越来越 接近这个点会发生什么 这样割线就能越来 越准确地估算这里的 瞬时变化率了 或者你甚至可以想成是切线的斜率