割线：难题 1

考虑函数f(x)， 它的曲线如图所示通过3个点， 这里是那3个点， 这条蓝色的曲线就是f(x)。 请确定哪些选项是正确的。 这里是所有的选项。 我们来看。第一个选项： f(-a)小于1-f(-a)除以a。 这条叙述看来有点古怪。 基于函数的图示 我们如何来判断该选项是否正确呢？ 我们一步步地看， 看看能得到什么。 f(-a)在哪里呢？ 这是f(-a)。 这是x=-a的点。 这是-a， 这是y=f(-a)。 这里是y=f(-a)。 关于f(-a)，从图我们知道 f(-a)的值是在0和1之间。 所以我们可以这样写， 0<f(-a)<1。 这是目前为止对于f(-a)我能推导出的。 现在来看这条古怪的叙述， 1-f(-a)除以a。 这是什么？ 好了，让我们来看看 这一点和这一点割线， 割线的斜率是什么情况， 如果我们想求点(-a, f(-a))和点(0, 1)之间的平均变化率。 这是割线的末端， y方向的变化是1-f(-a)。 所以1-f(-a)是y方向的变化。 而x方向是从-a变化到0， 所以x方向的变化是0-(-a), 即a。 所以这实际上是 从这个点到这个点y方向的变化除以x方向的变化。 即从这一点到这一点的平均变化率。 所以这是平均变化率， 或者说割线的斜率。 割线是这样的。 割线的斜率，这里的这个表达式 是从点(-a, f(-a))到点(0, 1)的割线的斜率。 那么只看这段图示， 我们知道斜率是怎样呢？ 特别是，相对于斜率0或1或别的斜率，我们有什么结论呢？ 好了，我们来看看斜率为1的线是怎样的。 斜率为1的线， 特别是通过这里这个点的线， 是这样的。 斜率为1的线看起来是这样的。 我画的这条线 从(-1, 0)到(0, 1)， 斜率为1。 所以这个斜率等于1。 如果绿线斜率为1， 蓝线的斜率呢？ 显然蓝线的斜率不一样。 蓝线的斜率是比绿线 更陡还是更缓呢？ 很明显蓝色的割线 比绿色的割线更陡。 它增加地更快。 所以他有更陡的斜率。 那么，从图可看出， 蓝线的斜率大于1。 或者说(-a, f(-a))到点(0, 1) 的割线的斜率大于1。 所以这个表达式大于1。 我们推导出这个表达式小于1 而这个表达式大于1。 那么左边小于右边。 所以这个选项是正确的。 现在我们看这个选项。 我们比较割线的斜率。 我们比较刚看过的 这条割线的斜率。 即这条割线。 所以我们比较这条割线的斜率， 跟什么比？f(a) - 1 除以 a。 这是这条割线的斜率 这条割线的斜率 我把它画出来，对比鲜明一点。 我用橙色来画。 这是这条割线的斜率。 那条更陡？ 很明显， 蓝色的割线比橙色的割线更陡。 但是这里陈述的是 蓝色的割线比橙色的割线陡度更低。 所以这一项不正确。 这项错。 最后，我们来看这项 -- f(a) - f(-a) 除以 2a。 这是一个斜率。 让我画出来。 这里的这项， 这是这个点和这个点的割线的斜率。 y方向的变化是f(a) - f(-a)。 而x方向的变化是a-(-a), 即2a。 对应于这条割线。 让我画出来。 所以是这条割线， 那么比较这个斜率和这个斜率。 y方向的变化是f(a)-1,x方向的变化是a。 所以我们是和这条割线的斜率比较。 用肉眼我们马上可以看出 带橙色的或粟色的， 应该是橙色的这条割线是从这里到这里， 很明显它比这条割线要陡。 从这里到这里的平均变化率 要比从这里到这里的平均变化率高， 因为从-a到0， 这里变化地更快。 然后减慢到这个斜率。 那么整个这条割线的 平均变化率肯定要比这里从0到a的平均变化率高。 所以这项也不正确。 选项左边大于右边 -- 我们知道这不对。 如果我们改变这两项的比较符， 它们就是正确的。 即如果这是大于符号， 如果这是大于符号。 所以第一项是唯一正确的。