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割线:难题 1

小明解决了一个具有挑战性的问题, 涉及曲线割线的斜率。 Sal Khan 创建

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    Although it seems that 0<a<1 on the graph, but this condition was not stated in the question. And the first choice f(-a)< [1-f(-a)]/a will not be true if a>1. So how can you conclude that the first choice is correct?
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视频字幕

考虑函数f(x), 它的曲线如图所示通过3个点, 这里是那3个点, 这条蓝色的曲线就是f(x)。 请确定哪些选项是正确的。 这里是所有的选项。 我们来看。第一个选项: f(-a)小于1-f(-a)除以a。 这条叙述看来有点古怪。 基于函数的图示 我们如何来判断该选项是否正确呢? 我们一步步地看, 看看能得到什么。 f(-a)在哪里呢? 这是f(-a)。 这是x=-a的点。 这是-a, 这是y=f(-a)。 这里是y=f(-a)。 关于f(-a),从图我们知道 f(-a)的值是在0和1之间。 所以我们可以这样写, 0<f(-a)<1。 这是目前为止对于f(-a)我能推导出的。 现在来看这条古怪的叙述, 1-f(-a)除以a。 这是什么? 好了,让我们来看看 这一点和这一点割线, 割线的斜率是什么情况, 如果我们想求点(-a, f(-a))和点(0, 1)之间的平均变化率。 这是割线的末端, y方向的变化是1-f(-a)。 所以1-f(-a)是y方向的变化。 而x方向是从-a变化到0, 所以x方向的变化是0-(-a), 即a。 所以这实际上是 从这个点到这个点y方向的变化除以x方向的变化。 即从这一点到这一点的平均变化率。 所以这是平均变化率, 或者说割线的斜率。 割线是这样的。 割线的斜率,这里的这个表达式 是从点(-a, f(-a))到点(0, 1)的割线的斜率。 那么只看这段图示, 我们知道斜率是怎样呢? 特别是,相对于斜率0或1或别的斜率,我们有什么结论呢? 好了,我们来看看斜率为1的线是怎样的。 斜率为1的线, 特别是通过这里这个点的线, 是这样的。 斜率为1的线看起来是这样的。 我画的这条线 从(-1, 0)到(0, 1), 斜率为1。 所以这个斜率等于1。 如果绿线斜率为1, 蓝线的斜率呢? 显然蓝线的斜率不一样。 蓝线的斜率是比绿线 更陡还是更缓呢? 很明显蓝色的割线 比绿色的割线更陡。 它增加地更快。 所以他有更陡的斜率。 那么,从图可看出, 蓝线的斜率大于1。 或者说(-a, f(-a))到点(0, 1) 的割线的斜率大于1。 所以这个表达式大于1。 我们推导出这个表达式小于1 而这个表达式大于1。 那么左边小于右边。 所以这个选项是正确的。 现在我们看这个选项。 我们比较割线的斜率。 我们比较刚看过的 这条割线的斜率。 即这条割线。 所以我们比较这条割线的斜率, 跟什么比?f(a) - 1 除以 a。 这是这条割线的斜率 这条割线的斜率 我把它画出来,对比鲜明一点。 我用橙色来画。 这是这条割线的斜率。 那条更陡? 很明显, 蓝色的割线比橙色的割线更陡。 但是这里陈述的是 蓝色的割线比橙色的割线陡度更低。 所以这一项不正确。 这项错。 最后,我们来看这项 -- f(a) - f(-a) 除以 2a。 这是一个斜率。 让我画出来。 这里的这项, 这是这个点和这个点的割线的斜率。 y方向的变化是f(a) - f(-a)。 而x方向的变化是a-(-a), 即2a。 对应于这条割线。 让我画出来。 所以是这条割线, 那么比较这个斜率和这个斜率。 y方向的变化是f(a)-1,x方向的变化是a。 所以我们是和这条割线的斜率比较。 用肉眼我们马上可以看出 带橙色的或粟色的, 应该是橙色的这条割线是从这里到这里, 很明显它比这条割线要陡。 从这里到这里的平均变化率 要比从这里到这里的平均变化率高, 因为从-a到0, 这里变化地更快。 然后减慢到这个斜率。 那么整个这条割线的 平均变化率肯定要比这里从0到a的平均变化率高。 所以这项也不正确。 选项左边大于右边 -- 我们知道这不对。 如果我们改变这两项的比较符, 它们就是正确的。 即如果这是大于符号, 如果这是大于符号。 所以第一项是唯一正确的。