tan(x) 和 cot(x) 的导数

我们已经知道 sin 和 cos 的导数， 我们知道 sin(x) 对于x 的导数等于 cos(x)， 我们知道 cos(x) 的导数等于 -sin(x)， 我们要在这个视频中， 找到另一个基本的三角函数的导数， 具体说，我们知道， 首先，让我们找出 tan(x) 对于 x 的导数是什么。 tan(x)，它等同于 求出它对 x 的导数， tan(x) 就是 sin(x) 除以 cos(x)， 因为它可以表示成 两个函数的商， 我们使用商法则来计算它， 找出它会是什么。 商法则告诉我们，它就是 分子函数的导数 我们知道就是 cos(x) 乘以分母函数 cos(x)，也就是乘以 cos(x)， 减去，减去分子函数， 也就是 sin(x)， sin(x) 乘以分母函数的导数。 那么 cos(x) 的导数是 -sin(x)， 所以，这里我放上 sin(x)， 这里，负号相消， 就是除以 分母函数的平方。 也就是 cos(x) 平方。 这是什么？ 这就是 cos(x) 平方， 这是sin(x) 平方。 由勾股恒等式，我们知道， 它其实是 由单位圆而来的， cos(x)平方 + sin(x)平方 对于任何 x 等于 1 ， 所有这些等于 1。 最后，我们得到 1 除以 cos(x)平方， 它就等同于 sec(x)平方。 1/cos(x) 就是 sec(x)， 所以它就是 sec(x)平方。 这挺简单的。 现在，我们来做它的反， 或者我应该说它的倒数， 正切的倒数，就是余切， 这样挺好，我们来做一下， 余切的导数， 不是 cos ，是 cot(x)， 同样的想法，这是对 x 的导数， 这回，我要用一个足够大的括号， 现在，这是 cos(x) 除以 sin(x)， 这里，我们可以再次使用商法则 它就是分子函数的导数 就是负的 --我用洋红色， 就是 -sin(x) 乘以分母函数， 乘以 sin(x) , 减去 分子函数，cos(x) cos(x) 乘以 分母函数的导数， 就是再有一个cos(x)， 然后，所有这些除以分母函数的平方 也就是 sin(x)平方， 现在，这可以简化成什么？ 这里，我们来看，这是 sin(x)平方， 这里，我们有一个负号， 减去 cos(x)平方， 但我们可以把负号提出来， 这就是 - (sin(x)平方+cos(x)平方） 好，根据勾股恒等式，这就是 1， 这就是 -1 除以 sin(x) 平方， -1 除以 sin(x) 平方， 它就等同于 - csc(x) 平方， 我没有地方写了， 这就是结果。