分段函数的极限

我们来考虑 由代数定义的分段函数的极限， 正如这里给出的 f(x)， 暂停视频，看看你自己能不能做出来。 这些极限是什么？ 它们有些是一侧极限， 有些则是常规的极限，或者说是两侧极限。 好，我们从第一个问题开始。 求当 x 趋于 4 的极限， x 的值从大于 4 的值趋于 4。 这就是这个正号告诉我们的含义。 当 x 大于 4， 我们的 f(x) 等于 x 的平方根， 当我们从右面趋近于 4， 我们实际上是在考虑这个函数的这一部分。 它就等于 4 的平方根，尽管在 4 这一点， 我们的 f(x) 等于它， 我们却是从大于 4 的值趋近于 4， 我们从右边接近它， 所以我们要用函数定义的这一部分。 它就等于 2， 现在，我们 f(x) 的极限， 在我们从左边趋近于 4 的时候会是怎样呢？ 那么，我们就要用函数定义的这一部分， 它就等于 4 + 2 除以 4 - 1， 它就等于 6/3 就等于 2。 所以如果我们要问，f(x) 在趋于 4 时的极限是什么，这是一个很好的例子， 因为从左边和右边两个方向 在 x 趋向于 4 时， 我们得到同一个值，我们知道， 要想让两侧极限成为极限， 你一定要两边，从左边和从右边都会到达同一个点。 我们是得到了这个结果，所以，它等于 2。 现在，当 x 趋于 2 的时候，f(x) 的极限是什么？ 当 x 趋于 2时， 我们完全处于这里的这种情况下， 这里，当 x 等于 1 时，会有有意思的事出现， 我们的分母为 0，但是当 x 等于 2 时， 这一段曲线是连续的， 所以我们只需要把这个数值代入， 它就是 2 + 2 除以 2 - 1，就是 4/1 它等于 4。 我们来做另一个例题。 我们有另一个分段函数， 我们暂停视频，自己来找到这些答案。 好，现在我们一起做。 当 x 从右边趋近于 -1 时， 它的极限是什么？ 如果我们要从右边趋近于它， 我们是大于或等于 -1， 我们是在这个分段函数的这一部分， 它就趋近于， 它就会是 2 的 -1 次方， 它等于 1/2， 那我们从左边趋近于它会是怎样呢？ 如果我们从左边趋近于它， 我们就是在这里这种情况下， 我们在 x = -1 的左边， 所以，它就等于这个正弦-- 因为我们是在这个分段函数的这种情况下， 是 -1 + 1 的正弦，也就是 sin(0)， 它等于 0， 现在，当 x 趋近于 -1 时， 两侧的函数极限时什么？ 函数趋近于两个不同的值， 从右边趋近于 -1， 和从左边趋近于 -1，函数趋近于不同的值。 如果一侧极限不能趋近于同样的值， 那么，它的极限不存在。 不存在。 当 x 从右边趋近于 0 时， g(x) 的极限是什么？ 我们是在说从右边趋近于 0， 我们就是在这里的这种情况下， 0 一定是在这个区间， 在这里的这个区间， 它是连续的，我们只需代入， x 等于 0 时，它就是 2 的 0 次方， 它其实等于 1，我们做完了。