极限的形式定义第二部分：构建思想

让我们试图对以下陈述 给出一个数学上严格的定义。 这个陈述是：当x趋近于c时， 函数f的极限等于L。 我们可以把这句话大体理解成：无论你想让f(x)多靠近L 都是可以做到。 我们把这部分用引号括起来， 因为它没有明说 具体靠多近。 总之你想靠多近都行， 只要让x足够接近c即可。 换句话说，如果你对我说：嘿， 我希望f(x)在这个极限值±0.5的范围内。 那么你相当于是在说：假如这个极限成立， 我应该能给到你一个包含着c的范围， 当x处于该范围之内时， f(x)将一定如你所希望的那样靠近L。 让我把相应的情形画出来，这样会清楚一些。 我将画一个新的函数图象， 以关注c附近的情况。 先画一条y轴， 这次我会画一个 稍微不同的函数， 以便我们把注意力集中在c附近。 我们所关注的是c的周围，以及L的周围。 这是我们的x轴，这是我们的y轴。 假设c点位于此处。 现在来画我们的函数图象。 假设我们的函数图象长这样子， 是这么个形状， 我希望它在c处没有定义， 至少在这个例子中可以是这样。 在函数有定义的地方当然也都存在极限， 但我们不妨假设此函数在c处未被定义。 在这里还可以扭一下。 好了，我们的函数图象长这样， 它在c处没有定义。 画歪了，让我来改一下。 函数在x=c时没有定义。 图象上的对应位置有一个洞。 它在x=c时没有定义。 在c周围甚至还扭了一下，像这样。 我们想做的，是证明 f(x)的极限…让我先澄清一下： 这是函数y = f(x)的图象， 我们希望对此处的定义有一个 更明确的概念。 所谓“当x趋近于c时，f(x)的极限等于L” 究竟是什么意思。 我们对此已经有直观概念了。 我们已经可以理解到，这个点应该对应L。 但这个定义到底在说什么呢？ 它告诉我们，要f(x)多靠近L 都是可以做到的。 所以如果你告诉某人：我希望 f(x)的值处于L周围的某个范围内， 假如这个极限真的成立， 假如当x趋近于c时， f(x)的极限真的等于L， 那就应该能在c周围找到一个范围， 只要x在这个范围内， f(x)就将处于你所要求的范围内。 让我们把整个过程过一遍。 这有点像在玩一个游戏。 某个人走过来对你说： 我不太信得过你， 你说当x趋近于c时，f(x)的极限等于L。 我不确定这是不是真的。 但我同意这个针对极限的定义。 现在我们来做一个测试， 我希望f(x)的值在L ± 0.5的范围内。 这里是L + 0.5。 这里是L - 0.5。 接着你回答说：没问题， 我会给你一个c周围的范围， 在这个范围内取任意x， 相应的f(x)都将落在你所要求的范围内。 于是你看向这个函数的图象 —— 我们并没有给出函数表达式。 不过对这个函数而言，看图象就够了。 并不是所有函数都这么容易。 你在此处取一个点， 像我现在所画的这样， 不妨假设此处对应c - 0.25， 不妨假设此处对应c - 0.25， 而此处对应c + 0.25。 于是你可以回答说：看， 只要保证x距c不超过0.25， 只要x在这个范围内， 相应的f(x)就将在 你所要求的范围内。 这时对方可以进一步说： 好的，这一轮算你赢， 接下来我要提一个更严的要求： 这次不是L ± 0.5，而是 L ± 0.05。 接着你就得重复上面的过程， 给出另一个x的范围。 要让这个极限成立的话， 无论对方向你提怎样的要求， 你都要能给出符合要求的范围。 无论对方要求f(x)落在L周围多小的范围内， 你都要能相应给出 一个c周围的范围， 只要x在这个范围内， f(x)就会在对方所要求的范围内。 我会给你点时间理解这个说法。 这的确需要些时间。 希望你能想明白。 我们举了一个具体的例子： 某人要求f(x)落在L ± 0.5这个范围内， 你回答说：只要x在c ± 0.25的范围内， f(x)就一定满足要求。 你需要能满足对方提出的 任意处于L周围的范围， 这个极限才算是成立。 在下一个视频中，我们将把上述定义一般化。 这将使我们抵达那个著名的， “极限的ε-δ定义”。