极限的形式定义第三部分：定义

上一个视频中，我们试图给出一个关于极限的严格定义 上一个视频中，我们试图给出一个关于极限的严格定义 我们说，当 x 趋近于 C 时，f (x) 的极限等于 L 我们说，当 x 趋近于 C 时，f (x) 的极限等于 L 你实际上是在说：（下面开始严格的定义） 当你使得 x 足够趋近于 C，那么 f (x) 就可以无限趋近于 L 当你使得 x 足够趋近于 C，那么 f (x) 就可以无限趋近于 L 下面我们来展开说说 如果想表达 要多接近有多接近 我们可以定义某个正数 ɛ ɛ ，这是希腊字母Epsilon（读作：伊普西龙 / 艾普西龙） 好，下面游戏开始了~ 是这样玩的 你告诉我 f (x) 离 L 想要有多近 是通过给我一个正数 ɛ 来表达的 它代表你希望 f (x) 与 L 有多接近 就给出一个正数 ɛ 来表达 这个 ɛ 就代表你希望有多接近 多近呢？ 例如，如果 ɛ =0.01 那么也就是说f (x) 接近的距离在0.01以内 然后我说，好吧 你给我那个 ɛ 那我要找到另一个正数 δ，小写希腊字母Delta，读作：德尔塔 那我要找到另一个正数 δ，小写希腊字母Delta，读作：德尔塔 当 x 在 C 的 δ 范围内 那么f (x)就在极限 L 的 ɛ 范围内 所以我们来看是不是真的表达了一样的内容 这里黄色字体的定义 是说：当你使得 x 足够趋近于 C，那么 f (x) 就可以和 L 要多近有多近 是说：当你使得 x 足够趋近于 C，那么 f (x) 就可以和 L 要多近有多近 第二部分的定义是说 更像文字游戏，说的是一回事 如果想让 f (x) 与 L 要多近有多近 那就要找到一个德尔塔 δ 使得 只要 x 在 C 的 δ 范围内 那么f (x)就在极限 L 的 ɛ 范围内 这就是它的作用 也就是说，如果我们可以将 x 约束在 C 的一个范围内 也就是说，如果我们可以将 x 约束在 C 的一个范围内 f(x) 就可以无限趋近 我在这里画了个图来让它更清楚一些 我在这里画了个图来让它更清楚一些 你来看了会说 我想要 f(x) 在极限 L 的 ɛ 范围内 所以这里的这个点是 L+ ɛ 下面的这个点是 L - ɛ 你会说，对哦 我可以在极限 L 的范围内取得 f(x) 只要在 C 附近定义好范围就行 我可以直观地看到这个边界 我甚至可以把范围缩得更小 我可以画到这里 对吧，我接受挑战 我要找到另一个数值 δ 那么这里就是 C + δ 左边这里就是 C - δ 左边这里就是 C - δ 我找到一些 δ 可以使得 在 C- δ 和 C + δ 之间取任一 x 也许函数甚至没有定义C点 所以我们思考的可能不是C，但非常接近 所以我们思考的可能不是C，但非常接近 在那个范围内取任一 x，都能使得 f(x) 无限接近极限 L 在那个范围内取任一 x，都能使得 f(x) 无限接近极限 L f(x) 的值都在 L + ɛ 和 L - ɛ 之间 f(x) 的值都在 L + ɛ 和 L - ɛ 之间 另一种表达方式可以怎么说呢？ 另一种说法是：给出一个 ɛ ， 就有一个 δ 另一种说法是：给出一个 ɛ ， 就有一个 δ 我用数学表达写出来 所以我要写相同的表述，只是更 数学化 一点点 所以我要写相同的表述，只是更 数学化 一点点 但其实是完全一样的 我这样写吧： 给定一个 ɛ >0 这里是第一部分 则可以找到一个 δ >0 可以使得, 如果 x 在 C 的 δ 范围内 这里换另一种说法来 表达 x 在 C 的 δ 范围内 可以换成这样说： x 和 C 之间的距离为 x - C 的绝对值： | x - C | | x - C | < δ 这个表达式对于在 C 的 δ 范围内的任一 x 都成立 x 和 C 之间的距离小于 δ 如果你在 C- δ 和 C + δ 之间取一个 x 如果你在 C- δ 和 C + δ 之间取一个 x 那么 x 满足这个表达式 接下来我换个颜色 那么，f(x) 和极限 L 之间的距离小于 ɛ 用 f(x) - L 的绝对值表示, 即 | f(x) - L | < ɛ 用 f(x) - L 的绝对值表示, 即 | f(x) - L | < ɛ 完整的表达就是：假设极限真的存在 真的等于 L，如果给定任意一个正数 ɛ 可以是一个超级超级小的正数，我们都可以找到一个 δ 也就是可以在 C 附近定义出一个范围 可以使得取任一 x 都会在 C 的 δ 范围内 可以使得取任一 x 都会在 C 的 δ 范围内 也就是说，x 到 C 的距离小于 δ 也就是说，x 到 C 的距离小于 δ 称为在 C 的 δ 范围内 就是图上这里的这些点 这些 x 对应的 f(x) 值都将在你指定的范围内 这些 x 对应的 f(x) 值都将在你指定的范围内 这些 x 对应的 f(x) 值都将在你指定的范围内 也就是将在极限 L 的 ɛ 范围内 f(x) 和极限 L 之间的距离小于 ɛ, | f(x) - L | < ɛ f(x) 和极限 L 之间的距离小于 ɛ, | f(x) - L | < ɛ f(x) 值将会落在这个区间内 这就是 ɛ - δ 极限定义 告诉我们的全部了 下一个视频，我们将用这个极限定义来证明极限的存在 下一个视频，我们将用这个极限定义来证明极限的存在