极限的形式定义第四部分：应用定义

在上个视频里，我们第一次 认识了极限的 epsilon-delta 定义 基本上当你认为 f(x) 的极限，当 x → C 等于 L，那就意味着 现有任何正 ε 它基本上告诉我们有多想让 f(x) 接近 L 我们总能找到一个 δ 大于 0， 这基本上是在告诉我们 我们离 C 的距离，以致于当 x 在 C 的 δ 里 f(x) 就会在 L 的 ε 里 如果我们能找到一个任何 ε 的 δ 我们就可以说，这确实是 f(x) 的极限，当 x → C 现在，我知道你在疑惑 这些都看起来很抽象 我想以某种方式使用这个东西 我们接下来要在这视频里用它 然后严格地证明极限确实存在 就在这边，我定义了一个函数 它在任何地方都等于 2x，除了当 x = 5 所以它在任何地方其他 x 值都等于 2x 不过当 x = 5，它就只会等于 x 所以我真的可以就写上 5 它等于 5，当 x = 5 它等于他自己 我们把图画在这里了 所有其他地方，它看起来就像 2x 在 x = 5，它不在 2x 的线上 反而这个函数被定义为 在那边的那个点 如果我问你 f(x) 的极限是什么 当 x → 5，你可能会 很直观地想到这一点 让我看看 我越接近 5 f(x) 看上去就越接近 10 你可能很直观地就定论 当 x → 5 时， f(x) 的极限真的 等于 10 看起来是这样的 不过我们要做的是用 epsilon-delta 定义去真正地证实它 大多数证明在通常情况下 我们在抽象中定义 δ 然后我们本质上试着想出一种 已知任何 ε，我们总能找出 δ 的办法 另一种方法是我们要去尝试 把我们的 δ 描写为一个 ε 的函数 为了不再让你更加迷惑 不过我或许不应该再次使用 f 可是 δ = ε 的函数 这是对任何正 ε 的定义 所以你给我一个 ε 我就会放入我们的小公式，或小方程盒 然后我永远都会给你一个 δ 当我可以在任何我能永远给你一个 δ 的 ε 上做那个时，在此情况下，如果 x 在 C 的 δ 里 然后相对应的 f(x) 会在 L 的 ε 里面 极限一定存在 让我们就尝试那样做吧 想象一下在我们的 C 的 δ 的里面 想象关于这里这个是 5 + δ 这是 5 - δ 那是我们要思考的范围 我们先要抽象地思考它 然后我们要尝试用 ε 来计算 δ 的公式 我们怎样才能描写所有在这范围内的 x 不过不等于 5 自己 因为我们真的很关心 在 5 的 δ 之内的东西，不过不需要等于 5 这只是一个严格意义上的小于 它们在 C 的范围之内，不过不等于 C 好吧，那会是所有满足 x - 5 小于 δ 的 x 那描写了这边所有的 x 现在，我们要做的是，这些证明的方式通常是 我们要去尝试 控制这个不等式的左边 让它看起来像这个 或者让它看上去就是那个 当我们实施时，不等式的 右边会以 δ 的形式来表示 然后我们基本上可以说，你看 如果右边以 δ 的形式来表示 而且左边看上去就是那个 那个真的定义了我们能怎么以 ε 的形式 来表示 δ 如果这没有道理，请忍耐一下 我马上就要做了 如果我们想让 x - 5 看上去更像这个 当 x 不等于 5 -- 在所有，在这整个区间里 x 不等于 5，f(x) = 2x 我们预测的极限是 10 如果我们能以某种方式让这成为 2x - 10 那情况就很乐观了 最简单的方法是 将这不等式的两边都乘以 2 2 * ｜某数字｜ 这等同 ｜2*该数字｜ 若我说 2 *｜a｜ 这等同｜2a｜ 所以在这边的左侧 这就会是｜2x - 10｜ 这小于右侧 你最后会得到 2δ 现在，我们在左侧有什么？ 只要 x 不等于 5，这就是 f(x) 这是我们的极限 我们可以改写为 f(x) - L < 2δ 适用于 x 不等于 5 这个 f(x)，这就是我们的极限 有趣的东西来了 这边这个论点差不多 是我们在这里想要的 除了右边不同 以 ε 为单位，这是以 δ 为单位 我们要怎样定义 δ，才能使 2δ 本质上 成为 ε ？ 我们的机会来了 在这将 δ 定义为 ε 的函数 我们要让 2δ 等于 ε 或者你将两边都除以 2 我们要让 δ 等于 ε/2 让我切换下颜色，为了减少单调 如果你要让 δ 等于 ε/2 那么这边这个论点 会成为｜f(x) - L｜ 小于，而不是 2δ 它会小于 2 * ε/2 它就会小于 ε 这是关键 如果有人给你这个函数的 任何正数 ε，只要你要让 δ = ε/2 然后在那范围里的任何 x 相对应的 f(x) 会在我们的极限值的 ε 内 记住，它必须是真的对于任何正数 ε 不过你可以看到思路的趋势 如果有人给你 ε 比方说，他们想在我们的极限值的 0.5 以内 我们的极限在这，我们的 ε 是 0.5 它会是我想要的范围在 10 + ε 会是 10.5 任何 10 - ε 会是 9.5 好吧，我们刚想出了一个公式 我们只要让 δ 等于 ε/2 等于 0.25 那给予我们一个 4.75 — 5.25 的范围 只要我们选一个 4.75 — 5.25 之间的 x 不过不是 x = 5，相对应的 f(x) 会在 9.5 — 10.5 之间 就这样，你给我任何 ε 我就可以在这里应用这个公式 为了得到 δ 这可以应用在任何实数 我想说，特别是任何正数 对于你给我的任何 ε 我就得到了一个这样定义的 δ 然后我可以通过这个弧度 如果｜x - 5| < δ 如果 δ 是这样定义的 我可以为任何 ε 定义 那么将是 f(x) 将在 我们极限的 ε 之内