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主要内容

无穷极限和渐近线

无界极限在图上由垂直渐近线表示, 在无穷远处的极限在图上由水平渐近线表示。

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视频字幕

在这个视频里,我们要做的是 用线上图形计算器Desmos 来探索垂直和 水平渐近线的关系,然后想想 它们跟我们已知的极限 有什么关系 我们先来画x减1分之2 让我画这个 你可以立刻发现在x等于1的时候 有些有趣的东西发生 如果你将x等于1代入 这个表达式,你会得到 2除以0,当你得到非0的数 除以0的时候,这就表示 你可能有一个垂直渐近线了 事实上我们可以在x等于1这里 画垂直渐近线 但我们想想这跟极限有什么关系呢 假如我们想知道当x接近1时 f(x)等于x减1分之2的极限是多少呢 我们可以从左边和右边 来考虑,假如我们从1的左边 接近,让我放大一点 我们可以看到当我们从左边接近 x等于0的时候,f(x) 等于负2 当x等于0.5的时候,f(x) 等于负4,然后它的 负值会随着我们从左边接近1 而增大 这里我还没有那么接近 比如说0.91这里,我比1还小 百分之9,但我已经在负22.222了 所以当我们从左边接近1的时候 一些人会说极限是无界的 它在往负无穷走,但这 就是一个无定义的极限,它在负方向 是无界的 同样的,当我们从右边接近的时候 我们在正方向是无界的 然后严格的说这个极限 不存在 这就是当我们有像这样的 垂直渐近线的情况 现在我们对比一下水平渐近线 这种情况下极限 是可以存在的 让我先把这个删了 我们看看这个函数 是一个很不错的函数,我在 视频开始前想出来的 这看着很酷,但让我们看看它在 当x接近正无穷时的表现 当x接近正无穷的时候,看上去我们的y值 或者说y等于 表达式的值,看上去 它在接近3 所以我们可以说在y等于3 有一个水平渐近线 然后还有一个更严谨的定义方法 这个函数或者表达式在x接近 无穷的极限 等于3 我的鼠标有点挡住了 当我们往更大的方向走时 我们越来越接近3 现在我们已经很接近了 可以看出我们在越来越 接近3 然后你也可以想想 当x接近负无穷的时候 你会从下面越来越 接近3 一个关于水平渐近线有趣的事 是你可以看见函数 其实可以经过水平渐近线 它在这里经过水平渐近线 并且即使是我们在接近正或者 负无穷,它也可以围绕 水平渐近线摆动 让我把这个乘以sinx 那现在我们在绕着 水平渐近线摆动 然后这个极限还是存在的 即使是我们一直经过水平渐近线 随着x变大,我们在越来越接近 渐近线 这是水平和垂直渐近线的 一个关键区别 一个函数是不会经过它的 垂直渐近线的,但是可以经过 水平渐近线并且随着 x走向正或者负无穷时候 越来越接近 这条渐近线