分析无界极限: 混合函数

【讲解】题目已知f(x) 等于x / [1-cos(x-2)]， 他们要求我们选择正确的描述。 f在x = 2时的单边极限。 我们可知x等于2， 如果我们尝试将2代入函数， 我们得到 2 / [1-cos(2-2)]， 也就是cos(0)， 然后cos(0)是1， 所以1-1=0， 所以函数在x = 2处没有定义， 这就是为什么求极限会很有趣。 当x趋近于2时，特别是单边极限。 这是单边极限。 我们先到这里， 让我们尝试解决它。 实际上有两种方法可以实现。 有一种方法没有计算器也可以完成 通过检查这个式子， 考虑余弦函数的性质， 如果你有灵感了， 可以暂停视频并解决它，我将在本视频的结尾处进行说明。 反之，如果您有计算器， 我们用一张表来完成， 就像我们在其他例题中做的一样。 如果我们考虑x趋近于2， 从正方向来看。 我们可以在这里做一个小表格， 这是x，然后是f(x)。 当取值大于2时， 可以是2.1， 2.01。 这就是为什么我们需要计算器， 这些不是很容易计算的。 这会是 2.1 / [1-cos(2.1-1)]， 2.1-2是0.1， 没有计算器我无法计算cos0.1是多少。 我知道cos0 = 1 所以它非常接近1，但不等于1， 它会小于1。 cos永远不会大于1。 余弦函数在-1和1有界 -1，也就是小于cosx 我只写x，不需要括号了。 cosx小于1。 余弦函数在这两个值之间振荡， 所以这里会接近1， 但会小于1。 它绝对不能大于1， 这是一个很好的提示。 为了更好地理解这个结构， 可以这样说， 2.01 除以 [1-cos(0.01)] 它会更接近1， 但不等于1，它会小于1。 不管怎样，任何的余弦值， 都介于-1和1之间， 也可以包括-1和1。 但当我们趋于2时， 这里会接近1， 我想可以说下面接近1。 你可以开始有一些直觉。 如果它从下面趋近，这里， 这个式子，整个表达式将是正的。 当x接近2时， 分子是正的。 这是趋近2。 分母是正的，整个式子 必须为正值， 否则它在正方向上 将变得无限。我们会看到， 这个是无界的，因为这个 比这个更接近1， 你会看到，如果你有计算器的话 但不用说，在正方向是无界的 所以我们要 趋近于正无穷，所以选这两个选项。 当x趋近于，我们可以得出同样的结论。 在负方向或从下面， 当从下面趋近2时，我应该说。 这是x，这是f (x) 再说一次，我没有计算器。 你可以用计算器计算， 很明显这些都是正的， 当我们趋近的时候， 它们变成越来越大的正值， 1.9也是如此， 如果是1.99， 因为这里是1.9 / (1 - cos) 这里是1.9-2 所以是-0.1 我把屏幕移过去一点。 第二个是 1.99 / [1-cos(-0.01)] 然后cos(-0.1) 和cos0.1是一样的， cos(-0.01) 和cos0.01也是一样的。 所以这两个，这个等于这个。 这个等于这个。 再一次，我们趋近正无穷 所以唯一的选择，所有都成立的 是第一个选项 无论从右边还是左边趋近于2， 我们都趋近于正无穷。 但另一种推导方法是 当趋近于2时， 分子是正的， 因为2是正的，而在这里， 当趋近于2时， 任何数的余弦都不可能大于1。 它接近1，但小于1。 当x趋近于2时，它小于1。 当x = 2时，它变成1。 那么，在这里， 1减去一个小于1的数是正的， 一个正数除以一个正数， 所以肯定会得到正值。 当你趋近于2， 我们知道，题目已经告诉我们了， 根据选项，这些是无界的， 所以你也会选择这个。 但你也应该为此感到高兴， 越趋近2， 这个值越接近0。 这里越接近0， 下面就越接近1。 下面越接近1，分母越小。 然后除以越来越小的分母， 你会得到无限大的值， 这正是我们在第一个选项中得到的。