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主要内容
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分析无界极限: 混合函数

视频字幕

【讲解】题目已知f(x) 等于x / [1-cos(x-2)], 他们要求我们选择正确的描述。 f在x = 2时的单边极限。 我们可知x等于2, 如果我们尝试将2代入函数, 我们得到 2 / [1-cos(2-2)], 也就是cos(0), 然后cos(0)是1, 所以1-1=0, 所以函数在x = 2处没有定义, 这就是为什么求极限会很有趣。 当x趋近于2时,特别是单边极限。 这是单边极限。 我们先到这里, 让我们尝试解决它。 实际上有两种方法可以实现。 有一种方法没有计算器也可以完成 通过检查这个式子, 考虑余弦函数的性质, 如果你有灵感了, 可以暂停视频并解决它,我将在本视频的结尾处进行说明。 反之,如果您有计算器, 我们用一张表来完成, 就像我们在其他例题中做的一样。 如果我们考虑x趋近于2, 从正方向来看。 我们可以在这里做一个小表格, 这是x,然后是f(x)。 当取值大于2时, 可以是2.1, 2.01。 这就是为什么我们需要计算器, 这些不是很容易计算的。 这会是 2.1 / [1-cos(2.1-1)], 2.1-2是0.1, 没有计算器我无法计算cos0.1是多少。 我知道cos0 = 1 所以它非常接近1,但不等于1, 它会小于1。 cos永远不会大于1。 余弦函数在-1和1有界 -1,也就是小于cosx 我只写x,不需要括号了。 cosx小于1。 余弦函数在这两个值之间振荡, 所以这里会接近1, 但会小于1。 它绝对不能大于1, 这是一个很好的提示。 为了更好地理解这个结构, 可以这样说, 2.01 除以 [1-cos(0.01)] 它会更接近1, 但不等于1,它会小于1。 不管怎样,任何的余弦值, 都介于-1和1之间, 也可以包括-1和1。 但当我们趋于2时, 这里会接近1, 我想可以说下面接近1。 你可以开始有一些直觉。 如果它从下面趋近,这里, 这个式子,整个表达式将是正的。 当x接近2时, 分子是正的。 这是趋近2。 分母是正的,整个式子 必须为正值, 否则它在正方向上 将变得无限。我们会看到, 这个是无界的,因为这个 比这个更接近1, 你会看到,如果你有计算器的话 但不用说,在正方向是无界的 所以我们要 趋近于正无穷,所以选这两个选项。 当x趋近于,我们可以得出同样的结论。 在负方向或从下面, 当从下面趋近2时,我应该说。 这是x,这是f (x) 再说一次,我没有计算器。 你可以用计算器计算, 很明显这些都是正的, 当我们趋近的时候, 它们变成越来越大的正值, 1.9也是如此, 如果是1.99, 因为这里是1.9 / (1 - cos) 这里是1.9-2 所以是-0.1 我把屏幕移过去一点。 第二个是 1.99 / [1-cos(-0.01)] 然后cos(-0.1) 和cos0.1是一样的, cos(-0.01) 和cos0.01也是一样的。 所以这两个,这个等于这个。 这个等于这个。 再一次,我们趋近正无穷 所以唯一的选择,所有都成立的 是第一个选项 无论从右边还是左边趋近于2, 我们都趋近于正无穷。 但另一种推导方法是 当趋近于2时, 分子是正的, 因为2是正的,而在这里, 当趋近于2时, 任何数的余弦都不可能大于1。 它接近1,但小于1。 当x趋近于2时,它小于1。 当x = 2时,它变成1。 那么,在这里, 1减去一个小于1的数是正的, 一个正数除以一个正数, 所以肯定会得到正值。 当你趋近于2, 我们知道,题目已经告诉我们了, 根据选项,这些是无界的, 所以你也会选择这个。 但你也应该为此感到高兴, 越趋近2, 这个值越接近0。 这里越接近0, 下面就越接近1。 下面越接近1,分母越小。 然后除以越来越小的分母, 你会得到无限大的值, 这正是我们在第一个选项中得到的。