If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

如果你被网页过滤器挡住,请确保域名*.kastatic.org*.kasandbox.org 没有被阻止.

主要内容

区间内的连续性

如果函数 f 在开放区间 (a,b) 上的每一点上连续,那么称它在开放区间 (a,b) 上连续。如果函数 f 在开放区间 (a,b) 上的每一点连续,而且 x=a 时的右极限等于 f(a),x=b 时的 左区间等于 f(b),则称 f 在封闭区间 [a,b] 内连续。

想加入讨论吗?

尚无帖子。
你会英语吗?单击此处查看更多可汗学院英文版的讨论.

视频字幕

-本视频中,我们要 研究一下区间里的连续性的问题 但是为了研究这个,在某个阶段 我们要回忆一下 我们说,f 当 x等于c时, 它是连续的 当且仅当 我这里要画这些双向箭头 f(x)在 x趋近于c的时候 f(x)的极限 等于f(c) 当我们第一次介绍这个的时候 我们说,这个看上去很学术 但是实际上很符合直觉 想一下发生了什么 f(x)在x趋近于c的极限 所以,我们说,当x趋近c, f(x)趋近某个值 如果我们趋近的时候 如果我们从左边趋近 我们得到这个值 如果我们从右边趋近,我们得到这个值 为了让这个函数连续 如果我要画出它的曲线而不用抬起笔, 函数在这个点的值 应该就等于极限 这是描述不需要抬起笔这个定义 真正严密的说法 这个关于联通性的定义, 它意思是没有跳跃 或者说,没有任何形式的不连续 排除了这一点后 让我们来讨论区间上的连续性 先把这个抹掉 腾些空间出来 我们说,我们先要谈的是开区间 然后再讨论闭区间 因为一个闭区间涉及的内容更多 我们说f 在一个从a到b的开区间 它是连续的 所以,圆括号而不是方括号 它表明端点不包括在内 所以,这个是介于x等于a 到x等于b之间的所有的点 但是不是说x等于a或者x等于b 所以,f在这个开区间是连续的 当且仅当 当且仅当 f是连续的 f是连续的 它对于 该区间内的 每一个点 都是 成立的 所以,我们做一些例题吧 我们说,我们讨论的是开区间 从-7 到-5 在此区间f连续 我们看一下,我们从 -7直到-5 有不同的方法可以做 有一些在数学上不是那么严密的做法 你可以说,看,我从这里开始 我们可以一直画到-5 而不用抬起我们的笔 如果想更严密的证明 你实际上需要函数的定义 你可能会证明它 在区间内的任何点 当x趋近其中的任何一个点的时候 f(x)等于函数在 那个点上的值 如果你只有一个函数曲线,会更难做 当你只有一个函数曲线的时候 你只能通过观察来做 好,我们可以从这个点行进到另外一个点 而不需抬起我的笔 看上去很合理 我换一个区间 我们说,我们在这里做一个记号 它是连续的 我们考虑一下从 -2到+1的区间,这个开区间 这个很有意思,因为函数在 -2这个地方在这里 如果你想从-2开始 你必须要从这里开始,只要稍微大于-2, 曲线马上向下跳跃 并且一直这样下去 但是它是开区间, 所以我们并不关注 在-2这里实际发生了什么 我们关注的是 所有大于-2的值 我们实际上可以从这里开始 然后我们进到1 再次,基于直观 我不用抬起我的笔 这个函数在这里 是连续的 在这个区间内连续 那么函数在不连续的区间的例子 又是什么? 我们考虑一个新区间 这个很直接 从3到5的开区间 当x等于3时,函数在这里 但是如果想要到5 看上去我们有一个渐近线 看上去我们向上无限逼近 一直地向上 然后我们必须要抬起笔,跳跃一下 然后再向下回到这里 所以,这里我们在区间内不连续 我们再深入思考一下 这个内容更丰富的区间 这个更复杂的例子 当你有一个闭区间 f是连续的 在闭区间a,b之间连续 所以,它不仅包含a和b之间的点 还包含端点 当且仅当 f是 在开区间上 连续 并且,一边的极限 让我们 从右边开始 当x从右边 趋近a f(x)的极限 它就等于 是f(a) 当x从左边 趋近于b的时候 f(x)它的极限 等于 f(b) 现在这里怎样了? 当你在区间内运算时, 这个是单边极限 它和函数一样趋近于同样的值 例如,如果我们说, 从-7到-5的闭区间 按照我们不抬起笔的比喻 它是合理的 你不用抬起笔 你在端点,也就是-7处 需要做的是, 是,这个函数仍然是连续的 但是如果它这里没定义 它仍然连续 因为你可以从右边来计算它的极限 你可能会说,好,右侧的极限 等于函数的值 在第二个端点 你可以说,左侧的极限 等于函数值,即使它在这里没有定义 即使两边的极限没有定义 我们可以看一个实际的例子 如果我们看一下 闭区间衍生的例子 我们可以有一边是开区间,一边是闭区间 但是我们研究一下从-3 到-2的闭区间 所以,注意,我不用提起笔 我们包含了-3 一直到-2 如果你知道函数的解析定义 你可以证明它 在里面的点,介于-3和-2之间, 它们的极限,等于函数的值 -3这个点,很清楚的,在-3这个点 函数是普通的连续函数 两边的极限,趋近于函数的极限值 但是在-2,两边的极限不存在 当你从左边趋近时, 看上去是趋近于0的 当你从右边趋近时 f(x)等于0 看上去f(x)趋近于-3 即使两边极限不存在 仍然可以 因为左边的极限存在 左边的极限趋近于 函数的值 所以,我们实际上在区间上连续 但是,如果我们来处理这个区间 如果我们处理从-2 到1的闭区间 请暂停视频考虑一下 按照我们刚刚讨论的 我们在这个区间内连续吗? 我们从-2到1 这个区间 -2是下边界 在这里 在这里还成立吗? 当我们从右边趋近于-2 它和f(-2)相等吗? 我们从右边趋近的时候 极限趋近于-3 f(-2)等于0 这个极限,这个,这个 这两个,当我们从右边趋近 极限和函数值不相同 所以,我想你可以说 在-2处,单边连续 这个也是合理的 如果我们从-2开始 我换个颜色 如果我从-2开始 从区间的其他部分一直到1 我就必须要提起笔 提起笔以到达这里,然后继续 在这个区间,我们的函数不连续