函数在特定 x 值上连续

以下哪个函数在 x = 3 处连续？ 就像上个视频说的， 在上个例题里， 要在一个点连续， 至少要在这个点有定义。 我们看看连续的定义， f 在 a 点连续，当且仅当， x 趋近于 a 时 f(x) 的极限，要等于 f(a)。 在这道题中， 我们说一个函数在 x = 3 处连续， f 在 x = 3 处连续， 当且仅当 x 趋近于 3 时 f(x) 的极限 要等于 f(3)。 我们来看这第一个函数， x 减 3 的自然对数。 我们代入，不是 f，现在是 g， 代入计算 g(3)。 g(3)，我写在这， g(3) 等于 0 的自然对数， 3 减 3， 没有定义。 e 的任何次幂都不等于 0。 或者你可以说，负无穷次幂， 但这不在定义域，没有定义。 所以，它在 x = 3 都没有定义， 不可能在 x = 3 处连续， 我们可以排除它。 然后 f(x) 等于 e 的 x - 3 次幂。 它只是 e 的 x 次幂的平移。 它在全体实数都有定义， 而且上道例题我们看到， 可以说它在实数范围内连续， 你可以验证一下。 x 趋近于 3 时 e 的 x - 3 次幂的极限 它就等于， 等于 e 的 3 - 3 次幂， e 的 0 次幂，也就是 1。 所以只有 f 是连续的。 同样，用图像思考一下也很有帮助。 这两个函数，可以这么想， 它是 ln x 的平移， 它是 e 的 x 次幂的平移， 我们来画出平面坐标， 这是 y 轴，这是 x 轴， 我画出几个刻度。 这是 1，这是 1，这是 2，3， 2 和 3，我看看， 它们是经过平移的函数， 所以这么画可能不合适， 重新来，这是 1，2，3， 4，5，6。 在 y 轴上，我用不同的标尺， 这是 1，2，3。 我要画一个，1，2，3， 在这里画一条虚线。 g(x)，也就是 ln(x - 3) 是这个样子。 如果代入 3，就没有定义了， 如果代入 4，ln 4， 它就等于，抱歉， ln(4-1)， 实际上是 ln(4-3)， 我先列个表吧， 不然越说越乱。 这里是 x，这里是 g(x)， 这是 3，无定义， 4，这里是 ln(1)， 它就等于 0，就是这个点。 g(x) 应该是这个样子。 可以看到，等于 3 时， 有不连续点， 在 3 的左边都没有定义。 f(x) 更简单一些， 如果是 e 的 3 次幂， 抱歉，f(3) 应该是 e 的 3 - 3 次幂， 也就是 e 的 0 次幂，或者是 1， 它就是这个样子， 这个函数大约是这样， 是这样。 没有跳跃点，没有间断点， 它在整个实数域都连续， 当然在 x = 3 处也连续。