复习：中值定理

中间值理论描述了连续函数的关键属性: 对于在间隔 $[a,b]$open bracket, a, comma, b, close bracket 之间连续的任何函数$f$f,函数值将包含 $f(a) 和$f, left parenthesis, a, right parenthesis, 和f(b) 之间的任何值.

更正式地说,这意味着,对于在$f(a)$f, left parenthesis, a, right parenthesis和 $f(b)$f, left parenthesis, b, right parenthesis 之间的一个任何值 $L$L,在区间 $[a,b]$open bracket, a, comma, b, close bracket 之内一定有一个$c$c,使得 $f(c)=L$f, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, L.

考虑到连续函数的图形是在不提升铅笔的情况下绘制的, 这个定理是非常有意义的.如果我们知道该图通过$(a,f(a))$left parenthesis, a, comma, f, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis 和 $(b,f(b))$left parenthesis, b, comma, f, left parenthesis, b, right parenthesis, right parenthesis...

...那么它必然通过在 $f(a)$f, left parenthesis, a, right parenthesis和 $f(b)$f, left parenthesis, b, right parenthesis 之间的任何一个 值$y$y.

请考虑具有下表中所列明的值的连续函数 $f$f.让我们找出在方程 $f(x)=2$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2的解在哪个区间.

我们注意到, $f(-1) = 3$f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 3 和 $f(0) =-1$f, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 1.所以该函数必须在间隔 $[-1, 0]$open bracket, minus, 1, comma, 0, close bracket 上获取 $-1$minus, 1 和 $3$3 之间的任何值.

$2$2 是 $-1$minus, 1 和 $3$3之间, 所以必须有一个值 $c$c 在 区间$[-1, 0]$open bracket, minus, 1, comma, 0, close bracket内, 使得 $f(c)=2$f, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, 2.