复习：中值定理

中间值理论描述了连续函数的关键属性: 对于在间隔 $[a,b]$‍ 之间连续的任何函数$f$‍,函数值将包含 $f(a)\mathrm{和}$‍f(b) 之间的任何值.

更正式地说,这意味着,对于在$f(a)$‍和 $f(b)$‍ 之间的一个任何值 $L$‍,在区间 $[a,b]$‍ 之内一定有一个$c$‍,使得 $f(c)=L$‍.

考虑到连续函数的图形是在不提升铅笔的情况下绘制的, 这个定理是非常有意义的.如果我们知道该图通过$(a,f(a))$‍ 和 $(b,f(b))$‍...

...那么它必然通过在 $f(a)$‍和 $f(b)$‍ 之间的任何一个 值$y$‍.

请考虑具有下表中所列明的值的连续函数 $f$‍.让我们找出在方程 $f(x)=2$‍的解在哪个区间.

我们注意到, $f(-1)=3$‍ 和 $f(0)=-1$‍.所以该函数必须在间隔 $[-1,0]$‍ 上获取 $-1$‍ 和 $3$‍ 之间的任何值.

$2$‍ 是 $-1$‍ 和 $3$‍之间, 所以必须有一个值 $c$‍ 在 区间$[-1,0]$‍内, 使得 $f(c)=2$‍.