主要内容
复习:中值定理
回顾中值定理,并用它来解决问题。
什么是中值定理?
中间值理论描述了连续函数的关键属性: 对于在间隔 open bracket, a, comma, b, close bracket 之间连续的任何函数f,函数值将包含 f, left parenthesis, a, right parenthesis, 和f(b) 之间的任何值.
更正式地说,这意味着,对于在f, left parenthesis, a, right parenthesis和 f, left parenthesis, b, right parenthesis 之间的一个任何值 L,在区间 open bracket, a, comma, b, close bracket 之内一定有一个c,使得 f, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, L.
考虑到连续函数的图形是在不提升铅笔的情况下绘制的, 这个定理是非常有意义的.如果我们知道该图通过left parenthesis, a, comma, f, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis 和 left parenthesis, b, comma, f, left parenthesis, b, right parenthesis, right parenthesis...
...那么它必然通过在 f, left parenthesis, a, right parenthesis和 f, left parenthesis, b, right parenthesis 之间的任何一个 值y.
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我可以通过中值定理来解决什么问题?
请考虑具有下表中所列明的值的连续函数 f.让我们找出在方程 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2的解在哪个区间.
x | minus, 2 | minus, 1 | 0 | 1 |
---|---|---|---|---|
f, left parenthesis, x, right parenthesis | 4 | 3 | minus, 1 | 1 |
我们注意到, f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 3 和 f, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 1.所以该函数必须在间隔 open bracket, minus, 1, comma, 0, close bracket 上获取 minus, 1 和 3 之间的任何值.
2 是 minus, 1 和 3之间, 所以必须有一个值 c 在 区间open bracket, minus, 1, comma, 0, close bracket内, 使得 f, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, 2.
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