介值定理（中间值定理）

【画外音】在这个视频中 我们要学习介值定理 尽管这里有很多数学语言 但你将会学习的是一个非常直观的定理 甚至可能是你数学生涯中 会遇到的最直观的定理 会遇到的最直观的定理 首先，我会读一遍这段文字 然后我会再解读一遍 之后希望你会觉得这是一个简单的定理 另外，我不会证明这个定理 因为我认为这里的概念基础应该已经是非常直截了当的 因为我认为这里的概念基础应该已经是非常直截了当的 好，所以这个定理告诉了我们 假设F是一个在闭合区间[a, b]内每一点都连续的函数 因为是闭合区间，所以a和b的值都包含 函数在区间[a, b]内每一点都连续 让我先来根据这一行文字画几个函数F应会呈现的图像 让我先来根据这一行文字画几个函数F应会呈现的图像 让我先来根据这一行文字画几个函数F应会呈现的图像 假设函数F在闭合区间[a, b]内都连续 假设函数F在闭合区间[a, b]内都连续 让我画一下坐标轴 那这里就是Y轴 这里就是X轴 好的，例子1 如果这是A 然后这是B F会在这个闭合区间的每一个点连续 F会在这个闭合区间的每一个点连续 所以也就是说函数定义了每一个点 所以也就是说函数定义了每一个点 当然了，要是想在每一个点连续 我们不单需要函数定义每一个点 还需要函数关于那个点的极值 必须等于函数于那一点的值 所以函数一定定义了 F(a) 所以一定会有一个F(a)在这里 所以一定会有一个F(a)在这里 这个点就是F(a) 这个点就是F(a) 而F(b)会相对高一点 虽然可能会根据具体情况有所不同 这里就是F(b) 然后我们还知道这是一个连续函数 然后我们还知道这是一个连续函数 所以如果我们要想象一个连续函数的话 一种思考方式是 如果是在一个区间内连续的话 我们取这个函数、 这个区间内的一个点 然后，如果这是一个连续函数的话 我们应可以不拿起画笔 从这个点达到区间内的另外一个点 从这个点达到区间内的另外一个点 所以这里我想干啥就干啥 哦当然了它必须要是一个函数 所以我不可以画成这样 但是， 只要我不拿起画笔 那这就是一个连续函数 好的，完美 如果因为某种原因 在画图的过程中拿起了画笔 假如说我正在画，然后 哎呀，我拿起了我的画笔 那这就不再是一个连续的函数了 再来，如果我在画这个线条 然后哎呀，我又拿起了我的画笔 这就不再是一个连续的了 如果我要画一个这样的 芜湖！ 然后拿起了我的画笔 再从这里开始，也不再是连续的了 所以，这就是连续函数 函数在闭合区间[a, b]连续的样子 函数在闭合区间[a, b]连续的样子 我还可以画其他的例子 让我来画一画哈 让我来画一个 让我来画一个 没准儿F(b)小于F(a) 没准儿F(b)小于F(a) 这里是Y轴 这里是X轴 这里是X轴 再次强调，A和B并不需要都是正数 再次强调，A和B并不需要都是正数 他们可以都是负数 a可以是负的 b可以是正的 除此之外 F(a)和F(b) 也可以都为正或负 但是让我们来看这个例子哈 这里是F(a) 没错就是这儿 没错就是这儿 那这里就是 F(b) F(b) 然后再一次因为函数F是一个连续函数 然后再一次因为函数F是一个连续函数 所以我应当可以在不拿起笔的情况下 所以我应当可以在不拿起笔的情况下 从F(a)连线画到F(b) 不抬起笔 所以我就可以画一个这样的东西 啊我还是让它竖着走吧 它可以走到这儿 然后再往下 看起来就是这样 看起来就是这样 看起来就是这样 所以对于这两种情况 我可以画无限多符合 F是一个在闭合区间[a, b]内每一点上都连续的函数 F是一个在闭合区间[a, b]内每一点上都连续的函数 的图 有两种方法可以说明介值定理的结论 有两种方法可以说明介值定理的结论 也就是说你可以看到 两种介值定理的书写方式 或者一些和这两条相近的表达方式 这也是为什么我把两条都写上了 第一个表达方式就是 啊当然了，是在这第一个说法正确的前提下 那么F将在闭合区间内 采取f(a)和f(b)之间的每个值 采取f(a)和f(b)之间的每个值 就像我们在这两个例子中看到的 F(a)与F(b)之间的每一个值 F(a)与F(b)之间的每一个值 这里的每一个值 都在某个地方被函数图像定义了 都在某个地方被函数图像定义了 你可以取任意一个值 你可以取，假如说任意值L 在这里 哦，你看 L在这个点被定义了 如果你取任意值L 喏，L在这个点被定义了 甚至，这个点在这里也被定义了 在这里又被定义了 然后，这第二点就是对于这种情况 提供了更好的说明 对于介于F(a)和F(b) 之间的任何L 在闭合区间[a, b]中存在一个数c 而对于这个数值，F(c) = L 而对于这个数值，F(c) = L 所以这里至少存在一个c 那这个例子中 这里就是我们的c 另外一个例子中 我们甚至有多个可以成为 c的值的坐标 c的值的坐标 所以我们可以说 存在至少 至少一个数字 我就在这里直接加上去了哈 在闭合区间内 存在至少一个c的值 接下来，一些可能让你惊讶的事情就是 接下来，一些可能让你惊讶的事情就是 尝试画一个符合第一条说明 尝试画一个符合第一条说明 但并不符合第二个条件 的函数图像 好那来看看 让我们假设有一个L 但在区间内没有一个对应的c 让我试着画一下 然后我也会画的大一点 所以我们看的更清楚 F(a)和F(b)之间的所有值 F(a)和F(b)之间的所有值 F(a)和F(b)之间的所有值 好的，让我来画一个 大大的坐标轴 这里是Y轴 然后 这里是X轴 然后为了方便我就举一个这样的例子 这里是A 然后这里是B 那么这里就是 F(a) 这里就写 F(a) 那么这里就是 F(b) 然后画下我的小虚线 完美 F(b) 然后我们假设在这里 我们有一个连续函数 那在这个图像中 我就可以不拿起画笔 从F(a)画到F(b) 从F(a)画到F(b) 起始于坐标(a, F(a)) 终止于坐标(b, F(b)) 而不拿起我的画笔 好，那让我们假设 这里已有一个我们不会定义到的L值 就让这个L值在这里 然后 我们不会去触碰这个值 连续函数，x = A和x = B 中间也永远不会出现这个值 看看我能不能画一个这样的图像呢 能不能 从这儿 画到这儿 然后不能与虚线相交 我从这儿，芜湖~ 没准儿这块还不太行 哦天呢，我到底怎么才能不拿起笔 到达那个点呢 好吧 我确实就是需要与这条线相交 好的，就这样吧 我们最后还是让L的值 于c的位置出现在了图像上 也正是在这个闭合区间之内 所以虽然我没有证明这个定理 但希望你现在对介值定理 有了一个很直观的感受 -- 就像常识一样 最重要的一点就是你在处理一个连续函数 如果你不拿起笔画出它 如果你不拿起笔画出它 在坐标(a, F(a)) 和坐标(b, F(b)) 中的图像的话 那这就是一个连续函数 那么它就一定会经过 F(a)与F(b)之间的每一个值