中间值定理的合理性: 等式

函数g(x)等于1除以x。 我们能不能用介值定理来 找到这么一个值c 使得g(c)=0, 而c的取值范围是-1到1的区间？ 如果能够找到，写出证明。 为了使用介值定理， 函数在你感兴趣的区间必须是连续的。 这里我们感兴趣的区间是x从-1到1。 而1除以x在此区间是不连续的， 函数在x=0这一点函数无定义。 所以，我们可以说，答案是不能， 因为g(x)没定义，或者说不连续。 函数不是在所有的点都有定义， 但是我们这么说：在-1到1的闭区间不连续。 加括号注释: x=0时没定义。 好了，我们现在看第二个问题。 我们能不能用介值定理 找到一个值使得g(x)等于3/4成立， x的取值范围是1到2的闭区间？ 如果能够找到，写出证明。 首先我们看看这个区间。 如果我们考虑1到2的区间， 对的，我们的函数在这个区间是连续的， 所以我们可以说 g(x)在1到2的闭区间是连续的。 你也可以在这里给出更多的证明， 你可以说函数g对除了x=0的所有实数都有定义。 这里应该是g(x)对除了x=0的所有实数都有定义。 所以你可以说1除以x这样的有理函数 在它们的定义域内的所有点是连续的。 g(x)在此区间的连续性确实成立。 然后我们来看看g取什么值， 在区间的两端取什么值， 这就是我们要考察的区间的两个端点。 g(1)等于1除以1等于1， 而g(2)等于1/2。 那么，3/4位于g(1)和g(2)之间。 所以根据介值定理， 一定存在这么一个在定义域区间的x， 该定义域区间是1到2， 使得g(x)等于3/4。 所以，应用介值定理，我们可以说方程g(x)=3/4有解， 解题完毕。