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主要内容

极限的性质

两个函数和的极限是多少? 两个函数的积呢?. Sal Khan 创建

视频字幕

在这个视频里,我想给你 一堆极限的性质 这里我们不会很严谨地去证明 如果要严谨的证明 我们需要一个对极限的严谨定义 但在这个视频里我们不会弄这个 我们会在另一个视频里做极限的 精确定义 但是这里大部分的应该都比较符合直觉 这在以后的题目里能帮我们 化简极限 那假设我们知道某个函数f(x) 在x接近c时候的极限是大写L 然后假设我们还知道另一个函数 g(x)在x接近c时候的极限 等于大写M 根据这些,当x接近c 的时候,f(x)加g(x)的极限是什么? 你可以很直观地看这个 假如你看两个任意函数的图像 你会直接将这两个函数相加 那很明显这个等于…… 再说一次,这不是严谨的证明 我只是告诉你这些性质 这个是当x接近c时,f(x)的极限 加上当x接近c时,g(x)的极限 这等于 我用同一个颜色 这个等于L 这等于L加M。这个 等于M 不是很难 这个通常叫极限的 和法则 然后对于差我们可以得到一个类似的 当x接近c时,f(x)减g(x)的极限 就等于L减去M,也就是 当x接近c时,f(x)的极限 减去当x接近c时,g(x)的极限 所以是L减M 这个我们通常叫 极限的差法则 希望这些都是非常非常 符合直觉的 那假如你将这两个函数相乘呢? 当x接近c时,f(x)乘g(x)的极限 幸运的是,这个等于 当x接近c时,f(x)的极限 乘上当x接近c时,g(x)的极限 幸运的是,这是个很符合直觉的极限 法则 所以在这个情况下,这等于 L乘M 这是L乘M 同理,假如这里不是函数,而是常数 假如我们有…… 我用同样的颜色……当x接近c时 k乘f(x)的极限,k是常数 这等于k乘上当x接近c时 f(x)的极限 这个等于L,所以这全部就 化简成k乘L 然后商我们也可以做类似的 这叫做常数倍数法则 对于商我们也可以做类似的 假如我们有当x接近c时 f(x)除以g(x)的极限 这等于当x接近c时 f(x)的极限,除以 当x接近c时,g(x)的极限 这等于……估计你已经知道了 这等于L除以M 最后……这个叫做商法则 最后我们来看指数法则 假如我有…… f(x)的某个次方 这样,让我直接写成 分数指数,r除以s 次方,这里r和s是整数,那么 当x接近c时,f(x)的r除以s次方的 等于当x接近c时,f(x)的极限 的r除以s次方 再说一次,r和s都是整数,并且s 不等于0 要不然这个指数就没有定义了 这等于L的r除以s次方 这等于L的r除以s次方 我们实际上可以利用这些 求许多许多东西的极限 然后这些性质好的地方是,它们 和你的第一反应是一致的 假如你画出来这些函数的图像 这会看着很符合直觉