求极限的技巧 (文章) | 极限和连续性

这是一个实用的用来帮助你找到极限的流程图。

关键点1:直接代入是第一个使用的方法。当这个方法失败时再用别的方法，不然你可能会花更多的时间。比如，把表达式因式分解汇入直接代入花更多时间。

关键点2：得到

b / 0

和

0 / 0

（其中

b \neq 0

）有很大的区别。当你得到

b / 0

时，它代表着极限并不存在并且应该是无限的（渐近线）。对比之下。当你得到

0 / 0

时，它代表着你并没有足够的信息来确定极限存在与否，所以它叫做不定式。如果你得到了不定式，你需要做在流程表下面的更多步骤。

注意：有一个很好的找到极限的值的方法叫做洛必达法则你会晚点学到。这里没有讲的原因是因为我们还没有学习导数。

使用直接代入方法练习

题一

g (x) = \frac{x - 3}{\sqrt{x + 5} - 3}

我们想要找到

lim_{x \to 4} g (x)

。

当我们用直接代入的方法时会发生什么？

问题2

h (x) = \frac{1 - \cos (x)}{2 \sin^{2} (x)}

我们想要求

lim_{x \to 0} h (x)

。

当我们用直接代入的方法时会发生什么？

练习不定式

问题3

小明尝试求

lim_{x \to - 1} \frac{x + 1}{x^{2} + 3 x + 2}

。

使用直接代入的方法，他得到了

\frac{0}{0}

。

小明下一步应该用什么方法？

问题 4

小红尝试找到

lim_{x \to - 3} \frac{\sqrt{4 x + 28} - 4}{x + 3}

。

使用直接代入的方法，她得到了

\frac{0}{0}

。

小红下一步应该用什么方法？

知识综合

问题5

小兰的老师给她了一个流程图（如下）并且让她求

lim_{x \to 5} f (x)

在

f (x) = \frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 10 x + 25}

时的值。

拖动以下的卡片来显示小兰该怎么找到极限值。

a. 直接代入

b. 渐近线

c. 得到极限值

d. 不定式

E. 提取因子

F.共轭

G. 三角函数恒等式

h. 近似值

问题6

小刚的老师给他了一个流程图（如下）并且让他找到

lim_{x \to 3} f (x)

在

f (x) = \frac{\sqrt{2 x - 5} - 1}{x - 3}