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主要内容

微分学

课程: 微分学 > 单元 1

课程 8: 求极限的技巧
数学
微分学
极限和连续性
求极限的技巧
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求极限的技巧

Google课堂
在各种条件下，有很多方法可以找出函数的极限。了解这些求极限的方法固然重要，了解在什么情况下使用这些方法也很重要。
这是一个实用的用来帮助你找到极限的流程图。
流程图具有选项A到H，如下所示。选择A，直接代入。尝试直接评估函数。计算f(a) 的值会走流程选项B到D。选项B：f(a) =b/0，其中b不为零。结果可能是渐近线。示例：当x接近1时1/(x-1) 的极限。检查图或表格以了解有关x = a的函数的更多信息。选项C：f(a)= b，其中b是实数。结果可能求出极限。示例：当x接近3时，lim（x平方） = 3平方=9。选项D：f(a)=0/0。结果为不确定形式。示例：x接近-1的极限：(x^2-x-2)/(x^2-2x-3)。如果是选项D，请尝试以等效形式重写极限。这导致流程选项E到G。选项E：因式分解。示例：x接近-1的极限：(x^2-x-2)/(x^2-2x-3)，可以简化为lim（x接近-1）（x-2）/（x-3）；。通过分解和约分。选项F：共轭。示例：当lim（x接近4），(sqrt(x)-2)/（x-4), 可以重写为，lim（x接近4）：（1/（sqrt（x）+ 2），使用共轭和约分。选项G：三角恒等式。示例：当x接近0时，sin（x)/sin(2x) 的极限可以使用三角恒等式重写，当x接近0时，1/2cos（x)。使用选项E到G，尝试评估新简化的极限，并绕回到选择A，直接代入。最后一个选项是H，近似值：当所有其他方法均失败时，图形和表格可以帮助求出极限的近似值。
关键点1:直接代入是第一个使用的方法。当这个方法失败时再用别的方法，不然你可能会花更多的时间。比如，把表达式因式分解汇入直接代入花更多时间。
关键点2：得到b, slash, 0和0, slash, 0（其中b, does not equal, 0）有很大的区别。当你得到 b, slash, 0时，它代表着极限并不存在并且应该是无限的（渐近线）。对比之下。当你得到0, slash, 0时，它代表着你并没有足够的信息来确定极限存在与否，所以它叫做不定式。如果你得到了不定式，你需要做在流程表下面的更多步骤。
注意：有一个很好的找到极限的值的方法叫做洛必达法则你会晚点学到。这里没有讲的原因是因为我们还没有学习导数。

使用直接代入方法练习

题一
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, minus, 3, divided by, square root of, x, plus, 5, end square root, minus, 3, end fraction
我们想要找到limit, start subscript, x, \to, 4, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis。
当我们用直接代入的方法时会发生什么？
选出正确答案：

问题2
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, minus, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, 2, sine, squared, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction
我们想要求limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, h, left parenthesis, x, right parenthesis。
当我们用直接代入的方法时会发生什么？
选出正确答案：

练习不定式

问题3
小明尝试求limit, start subscript, x, \to, minus, 1, end subscript, start fraction, x, plus, 1, divided by, x, squared, plus, 3, x, plus, 2, end fraction。
使用直接代入的方法，他得到了 start fraction, 0, divided by, 0, end fraction。
小明下一步应该用什么方法？
选出正确答案：

问题 4
小红尝试找到limit, start subscript, x, \to, minus, 3, end subscript, start fraction, square root of, 4, x, plus, 28, end square root, minus, 4, divided by, x, plus, 3, end fraction。
使用直接代入的方法，她得到了 start fraction, 0, divided by, 0, end fraction。
小红下一步应该用什么方法？
选出正确答案：

知识综合

问题5
小兰的老师给她了一个流程图（如下）并且让她求limit, start subscript, x, \to, 5, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis在f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, minus, 25, divided by, x, squared, minus, 10, x, plus, 25, end fraction时的值。
流程图有以下A至H的选择：选择A, 直接代入。尝试直接计算函数。 对f(a) 进行计算导致流程的选择方向是B至D。 选择B：f(a)=b/0，此处b不是零。 结果可能是渐近线。选择C：f(a)= b, 其中b 为实数。 结果是可能找到极限。选项D: f(a)= 0/0。 结果是不确定的形式。从选项D，尝试以同等形式重写极限。 这将导致流程的选择E到G. 选择E：因式分解；选择F：共轭；选择G：三角恒等式。 利用选择E到G，试图以新的形式评估极限，并回到选择A，直接代入。 另一个选项是H，近似值：当所有其他选项失败时，图表和表格可以帮助求出大致的极限值。
拖动以下的卡片来显示小兰该怎么找到极限值。
a. 直接代入
b. 渐近线
c. 得到极限值
d. 不定式
E. 提取因子
F.共轭
G. 三角函数恒等式
h. 近似值

问题6
小刚的老师给他了一个流程图（如下）并且让他找到limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis 在f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, square root of, 2, x, minus, 5, end square root, minus, 1, divided by, x, minus, 3, end fraction时的值。
流程图有以下A至H的选择：选择A, 直接代入。尝试直接计算函数。 对f(a) 进行计算导致流程的选择方向是B至D。 选择B：f(a)=b/0，此处b不是零。 结果可能是渐近线。选择C：f(a)= b, 其中b 为实数。 结果是可能找到极限。选项D: f(a)= 0/0。 结果是不确定的形式。从选项D，尝试以同等形式重写极限。 这将导致流程的选择E到G. 选择E：因式分解；选择F：共轭；选择G：三角恒等式。 利用选择E到G，试图以新的形式评估极限，并回到选择A，直接代入。 另一个选项是H，近似值：当所有其他选项失败时，图表和表格可以帮助求出大致的极限值。
拖动以下的卡片来显示小刚该怎么找到极限值。
a. 直接代入
b. 渐近线
c. 得到极限值
d. 不定式
E. 提取因子
F.共轭
G. 三角函数恒等式
h. 近似值

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