有理化求极限

我们来看我们是否能求出 当 x 趋近于 -1 时， x + 1 除以 根号下 (x+5) 减 2 的极限。 我们的第一反应可能就是 好的，我们只需应用一下 极限的性质， 它就是 x 趋近于 -1 时 x+1 的极限除以 它的极限， 它的极限 当 x 趋近于 -1时 根号下 x+5 减去 2 的极限。 然后我们可以说， 这里， x + 1，如果 如果我们考虑 x + 1 的图像， 它各处连续，特别注意在 x = -1， 所以，要计算它的极限， 我们只需计算这个表达式 在 x = -1 的值 ， 这个分子的值就是 -1 + 1， 再看我们的分母， 根下 (x+5) 减去 2 不是处处连续， 但是它在 x= -1 这一点是连续的， 所以我们可以做同样的计算， 我们可以把 -1 代入 x ， 它就等于根号下 (-1 + 5) 减去 2， 现在，它的值是什么？ 在分子上，我们得到一个0， 在分母上，-1+5 是 4， 取主根，是 2，减去 2 ， 我们又得到 0， 我们得到， 我们得到了 0 除以 0 ， 你看到这个结果， 你可能想放弃了， 你会说，看，在分母上是 0， 它的极限可能不存在， 我做完了，我还能怎样做呢？ 如果分子上，它是一个非 0 数， 如果你用一个非 0 的值除以 0， 它就是无定义， 你的极限就不存在， 但是当你有 0 除以 0， 这是一个不定的形式， 它不意味着你的极限一定不存在， 正如你在这个视频和今后的课程中会看到的， 对此，我们有一些处理方法， 我们先看其中的一种。 现在，我们要看的一种方法就是， 我们是不是可以用另一种方式重写这个表达式， 这样我们就可以得到 不是 0 除以 0 的极限呢？ 好，我们来写一下， 我们取这个表达式， 取这里的这个表达式， 我们说，这是 g(x)， 我们实质上是要找到 g(x) 的极限， 当 x 趋近于 -1 时的极限。 我们可以写出 g(x) 等于 x+1 -- 我把它定义为 g(x) 的唯一原因， 就是更清楚地把它作为一个函数来理解， 对这个函数进行一些处理， 然后考虑类似的函数，-- 除以 x+5 减去 2， 是 x+1 除以根号下(x+5) 减去 2， 我们要运用的技术就是， 对不定型极限问题， 如果它的分母或者分子有平方根， 去掉那个平方根或许能有所帮助， 这常被叫做表达式的有理化， 在这个题中，在分母上有一个平方根， 所以要对分母 进行有理化， 它就会是-- 我们要用的方法就是 借助关于平方差 的知识的力量， 我们知道， (a + b) 乘以 (a - b） 等于 a平方 - b平方， 你们不久前 在代数中学过， 如果我们有根号 a 加上 b， 我们把它乘上根号 a 减去 b， 我们就得到根号 a 的平方， 也就是 a， 减去 b 平方， 这样，我们就可以借助这个主意 来去掉这里的根号， 我们要做的 就是让分子和分母 同乘根号下 (x + 5)， 加 2，对吧？ 我们有减 2， 所以我们要乘以 它加 2 ， 我们来做一下， 我们有 根号下 (x+5) 加 2， 分子上，我们要乘以同样的项， 因为我们不想改变 这个表达式的值。 这是 1， 如果我们把表达式除以相同的表达式， 它就是 1， 这样，它就是 根号下 (x+5) 加 2， 它就等于， 它等于 x + 1 乘以根下 乘以根号下 (x+5) 加 2， 而分母就是 它就是 根号下 (x+5) 的平方， 就是 x+5， 再减去 2 的平方， 减去 4， 这里，它简化为 x + 5 - 4 就是 x +1， 这正好， 正好是 x + 1， 你可能马上意识到 分子和分母都有 x + 1， 你可以简化它， 这样可以把它简化为 g(x) = （x+5) 的平方根 加 2。 现在，有些人可能会有点疑问， 你们可能是正确的， 你的潜意识会是 它是 与我们原有的表达式完全相同吗？ 和我们消掉 x +1 之前的表达式完全一样吗？ 答案就是，我刚才写的 不完全相同。 它在每一点都完全相同 但是 x = -1 这一点除外。 它在 x = -1 这一点有定义， 而它在 x = -1 这一点 没有定义。 g(x) 不行， 它不行， 这里，g(x) 当 x = -1 时，你得不到好的结果。 因此，为了让它与 g(x) 完全相同， 让它们是完全相同的函数，我们必须说， x 不能等于 -1， 这是 g(x) 化简后的版本， 对任何的输入 x， 它们相等。 g(x) 有定义，它会给你相同的输出， 现在，它的定义域完全相同， 我们已经给出了 g(x) 的这个约束。 现在，你会说，OK，这对我们有什么帮助呢？ 因为我们只是要求出 x 趋近于 -1 的极限， 就算在这里，我也必须给出这个约束， x 不能等于 -1， 我么还能怎样来考虑这个极限？ 好，我们还算幸运， 我们知道， 我们很幸运地知道， 如果我们有另外一个函数 f(x) ， 如果我们说 f(x) = 根号 (x+5) + 2 我们知道， f(x) = g(x) 对于除了 x = -1 以外的所有 x 成立， 因为 f(x) 没有那个约束， 我们知道 如果以上的表述对两个函数成立， 那么，当 x 趋于某一点的极限-- 它的极限，我把它写下来， 我们知道， 因为这个原因， 我们知道 f(x) 在 x 趋近于 -1 的极限就等于 g(x) 在 x 趋近于 -1 的极限。 而这正是我们所要找到的答案。 它是我们解题的初衷， 现在，我们可以利用 f(x)， 因为它们只是在 x = -1 这一点 有所不同。 如果我们给出 g(x) 的图像， 它只是 有一个点不连续， 或者说一个可以移除的不连续点， 其实我应该说， 这里有一个不连续的点， 在 x = -1 ， 那么它的极限是什么？ 现在我们做到最后一步了， f(x) 的极限 是什么？ 我们可以说， 根号 (x+5) + 2 在 x 趋近于 -1 时的极限， 这个表达式是连续的， 或者说，这个函数在 x = -1 时是连续的， 我么还能计算 x = -1 的值。 它就是 根号 (-1+5) + 2， 所以就是 4 的平方根， 4 的主根就是 2， 2 + 2 等于 4。 因为在 x 趋近于 -1 时， f(x) 的极限 是 4，所以 因为在 x 趋近于 -1 时， g(x) 的极限也是 4， 这个小小的， 这个小-- 我想， 你们会说，我这里的跳跃 你觉得无法理解， 我们来想一想， 根据看到的图像想一想， 根据看到的图像想一想， 如果这是 我们的 y 轴， 这是我们的 x 轴， g(x) 看起来应该是这样的， g(x)， g(x)，我来画一下， g(x) 看着 就是 这样的， 它在 -1 这一点有一个空缺， 它在这里有一个空缺， 而 f(x) f(x) 有相同的图像， 除了它没有 它没有这个空缺， 所以，如果你要求它的极限， 这样看着是完全合理的。 好，我们就用 f(x) 计算 它在 x = -1 的值， 去填补这个空缺。 希望这个图像版本可以有些帮助， 但如果它使你更加想不通，就忽略它吧。