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用倍角公式求三角函数极限

小明通过用余弦倍角公式重写原式求出了 θ=-π/4 时 (1+√2sinθ)/(cos2θ) 的值。

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视频字幕

-[画外音]好的,让我们看看 能否找到 1 +√2sinθ / cos2θ的极限 当θ趋于- π / 4时。 像往常一样 先自行尝试一下 一种观点是,让我们 假设这个 和极限是一样的 当θ趋于- π / 4时 (1 +√2sinθ) 除以θ趋于-π / 4时 的极限 确保我们可以看到 负的cos2θ 和这两个表达式 如果这些函数定义 或如果我们画图 y = 1 +√sin √2乘以sinθ, y = cos2θ 我们会得连续函数 特别是在θ等于-π/4 所以我们可以代入 我们会看到这 等于这个表达式在- π/4处的值 1加上√2 乘以sin(- π/ 4) 除以 cos(2乘以- π/ 4) 现在- π/ 4 sin(- π/4) 等于-√2 / 2, 所以这是-√2/2 我们假设这是以弧度为单位的 如果用度来计算 这是- 45度角,所以这是 一个很好的三角函数值 如果你有 如果你有 让我们看看 我重新写一下 所以这个等于 1加上√2乘以这个 等于- 2/2 所以 这是- 1 这是分子 所有这些化简成- 1 除以 这是cos(- π/ 2) 对吧? 这是- π/ 2 cos(- π/ 2)如果用度数来表示 这是- 90° 它的余弦值是0 所以我们得到的 结果是0 / 0 正如我们之前所说的 如果我们用非0除以0 我们会说,这没有定义 我们还是放弃吧 但我们有这个不定式 并不意味着极限不存在 这通常是一个线索 我们应该使用工具箱中的一些工具 其中一个是在这里做一些操作 来得到一个表达式定义为 或者不 不是不定式 θ等π/ 4 我们将在以后的工具箱中看到其他工具 我用代数方法处理一下 如果有1 +√2 sinθ除以cos2θ 你可以想象 这里有用的东西是三角恒等式 特别地,cos2θ看起来很有趣 我来写一些关于cos2θ 的三角恒等式 我写在这里 所以我们知道 cos2θ 等于 cosθ的平方 减去sinθ的平方 等于 1 - 2sinθ的平方 等于 2cos²θ- 1 你可以用勾股定理 从这个到这个再到这个 我们在之前可汗学院的 三角学视频中证明过 这些看起来有用吗? 这三个都是平方差 所以我们可以用有趣的方法因式分解它们 记住,我们最后的目标 可能是消掉一些 让我们得到0 / 0的东西 如果我可以把它 分解成 包含1 +√2sinθ的式子 我们就好办了 看起来 就像这样 它可以分解为 1 +√2sinθ 乘以 1-√2sinθ 我用这个 cos2θ是一样的 cos2θ是一样的 等于1 - 2sin²θ 也就是平方的差 我们可以把它写成 这是a方减b方 这是(a + b) (a - b) 所以我可以 把这个替换成 (1 +√2sinθ)乘以(1 -√2sinθ) 现在,我们有了一些很好的消去 或者可能发生的消除 所以我们可以说 这个和这个约掉了 我们可以说它等于 我换个颜色 这就等于 分子上只有1 分母上只剩下 1 -√2sinθ 如果我们想让这两个表达式真正相等 我们必须让他们拥有同样的东西 如果你把它们看成函数定义 因为有相同的域 所以这里的这个 这个式子 在= - π/ 4时没有定义 所以这个 为了使它们相等 我们不得不说这个也不是 实际上,在其他地方 我们讲 不 不等于 - π / 4 我们可以考虑所有这些 都发生在- π/ 4附近的某个开放区间 如果我们想要非常精确 但如果我们想 对于这个特殊的例子 这么说吧 我们所做的一切都是在开放区间 所以 在开放区间内 在开放区间 θ 或者- 1和1 我想这就够了 因为如果我们有π 如果我们有π/ 4 这不会得到 0 / 0的形式 π/ 4使分母 等于0 但它也让 我们看一下 π/ 4也会使这个分母等于0 因为我们得到1 - 1 所以我认为 我想如果我们只是假设的话 如果我们被限制在这个开放区间 这是可以的,因为我们取的是 当它接近这个开放区间时的极限 我说得特别精确,因为我想向你们解释 准确是很重要的 但很明显 如果你在考试或笔记本上做题 你不会 或者费那么大的劲 把这些警告都写进去 所以 我们现在意识到 这个表达式 实际上,我们想一下 我们来考虑一下极限 θ趋于- π/ 4时 的极限 没有限制 1除以 1 -√2sinθ 如果我们要解决这件事 在这个开放区间 等等,事实上,即使不考虑这一点 θ 这个θ 或者这个表达式是连续的 它在= - π/ 4处 是连续的 所以这个就等于 1 /(1 -√2 乘以 sin (- π/ 4) sin (- π/ 4) sin (- π/ 4) 我们已经知道是-√2 / 2 这就等于1 /(1 -√2) 乘以 -√2 / 2 负负得正 你得到一个正的 根号2乘以根号2等于2, 除以2等于1 所以这个等于1/2 所以 我想说得很清楚 这个表达式 和这个表达式不一样 它们在所有的值上都是一样的 特别是当我们 在这个开放区间中 处理时除了= -π / 4 这个没有定义 这个是有定义的 但正如我们之前多次看到的 如果我们找到一个函数 等于原来的函数 或表达式 等于原来的表达式 所有的值 除了 除了原来的那个 在某一点上没有定义 但是这个新的是有定义的,并且是连续的 那么这两个极限相等 如果这个极限是1/2 那么这个极限就是1/2 我在之前的视频中说过 这可能很容易让人说 我要用代数方法化简一下 得到这个 我不会太担心这些约束条件 然后我只需要 代入- π/ 4 你会得到 正确的答案 但它是非常重要的认识到 这两个表达式 不是一回事 允许你这是做什么 事实是 如果你有两个函数 如果你有f和g 两个函数相等 我这样写 等于 等于 对于所有x 除了 等等,我这么写 对于除a之外的所有x 的极限 然后,我这样写 所有人都相等,除了 对于除a之外的所有x 和f连续 在a连续 然后 那么f (x) 在x趋于a时的极限 就等于g (x) 在x趋于a时的极限 我在很多视频里都说过 这就是我们正在做的 但为了确保你做对了 答案是1/2