用毕达哥拉斯恒等式求三角函数极限

我们看看能否求出 当θ趋于0时 (1 - cosθ / 2sin²θ)的极限 像往常一样，暂停视频 看看你们能不能解决这个问题 好吧，我们的第一个诱惑是 这是一样的 求1 - cosθ的极限 当X接近或不接近X时 当θ趋于0 当θ趋于0 除以极限 当θ趋于0 2sin²θ 这两个表达式都可以 用来定义一个函数 如果你把它们画出来，它们就是连续的 它们在θ= 0处是连续的 所以极限是一样的 在θ= 0处求值 所以这就等于 (1 - cos0) / (2sin0)的平方 cos(0)等于1 ，同时1 - 1等于0 sin0 = 0，然后平方， 还是0乘以2 你还是得到0 得到0 / 0 再一次，我们有那个不定式 再说一次，这个不定式当你有0 / 0时 并不意味着放弃 它并不意味着极限不存在 它的意思是 也许还有其他方法可以用 如果你得到一个非零的数除以0 然后你会说，这个极限不存在 你会说，你就说它不存在 但是让我们看看我们能做些什么 也许可以用另一种方式来考虑这个表达式 如果我们说 我们假设 我用别的颜色 假设这个是 F (X) F (X) = (1 - cosθ / 2) sin²θ， 我们看看能否用某种方式 重新写一遍 至少当趋于0时 我们不会得到相同的0 / 0 我们可以，我们有一些三角函数 也许我们可以用一些 三角恒等式来化简它 我首先想到的是 sin的平方 我们从三角学中的勾股定理中知道 它直接来自于单位圆 sin和cos的定义 我们知道，我们知道 sinθ的平方加上cosθ的平方等于1 或者，我们知道sinθ的平方 等于1减去cosθ的平方。 1 - cosθ的平方 我们可以重新写一下 这等于(1 - cosθ)除以 2(1 - cos²θ) 这是1 - cosθ 这是1 - cos²θ 所以现在还不清楚 如何简化它 直到你意识到 这可以被看作是一个平方差 如果你把它看成 如果你把它看成A方减B方 我们知道这个可以分解成A + B 乘以A - B 我可以重新写一下 1 - cosθ 除以2 我可以把它写成(1 + cosθ) 乘以(1 - cosθ) (1 + cosθ) 乘以(1 - cosθ) 这很有趣 分子上有1 - cosθ 分母上有 1 - cosθ 现在我们可能会说 哦，我们把这个划掉 我们会得到，我们会化简它 得到F (X) = 1 / 现在我们可以把2乘进去 我们可以说，2 + 2cosθ 我们可以说 它们不是一样的吗? 我们几乎是对的 因为F (X)在这里 这个是有定义的 这个是有定义的 当θ= 0时， 当θ= 0时， 这个没有定义 当θ= 0时， 分母上有个零 所以我们需要做的是 为了使这个F (X) 或者说为了使这个相等 我们必须说，θ不能等于0。 现在我们再考虑一下极限 本质上，我们要做的是求出 F (X)当趋于0时 的极限 我们不能直接代入，如果我们这么做 如果我们真的认真对待这个问题 因为我们会喜欢 好吧，如果我把0放在这里 它说不能等于0 F (X)在0处没有定义 这个表达式在0处有定义 但这告诉我 我不应该对这个函数应用0 但是我们知道如果我们能找 到另一个有定义的函数， 它和F (X)除了在0处是一样的 并且它在0处是连续的 所以我们可以说 G (X)等于 1 / (2 + 2cosθ) 那么我们知道 这个极限就等于 G (X)趋于0时的极限 再一次，这两个函数 是相同的 除了F (X)在θ=0处没有定义 而G (X)在= 0处有定义 但是趋于0时的极限 是相同的 我们在之前的视频中见过 我知道你们很多人在想什么 萨尔，这看起来非常，你知道， 为什么我不，你知道，在这里做代数运算呢 把这些叉起来 把0代入 你可以这样做，你会得到答案 但是你需要清楚 或者在数学上清楚你在做什么是很重要的 如果你这样做， 如果你划掉这两个 突然你的表达式在0处有定义 你现在处理的是一个 不同的表达式或函数定义 为了更清楚 如果你想知道这个函数的极限 你必须加上这个限制条件 以确保它有完全相同的定义域 但幸运的是，我们可以说 如果我们有另一个函数 它在这一点处连续在这一点没有间隙 在这一点没有不连续 它们的极限是相等的 当趋于0时G (X)的极限 因为它在0处 是连续的 我们可以说它等于 我们可以代入 它等于G(0) 它等于1 / 2 + cos 2, 1 / 2 + 2 * cos 0 1 / 2 + 2 * cos 0 cos0等于1 所以就是1 / (2 + 2) 等于 应该来点鼓声 等于1 / 4 做完了