商（包括三角函数）无穷处的极限

我们来看， 如何计算 x 趋近于无穷时， cos x 除以 x 平方减 1 的极限。 按照惯例， 希望你暂停视频，先自己做做看。 好，解决这道题有很多种办法。 你可以这样考虑，你说： “好吧，先看分子，就在这里，cos x， “它的值是在 -1 到 1 之间震荡。” cos x 大于等于 -1， 也就是 -1 小于等于 cos x， 再小于等于 1。 所以，随着 x 值的变化， 分子的值在 -1 到 1 之间震荡， 这个题里是随着 x 的增加。 而分母呢，这里有 x 平方， 当 x 越来越大时， 分母会变得非常非常大。 那么，这就是一个有界的、在 -1 到 1 之间的数， 除以一个非常非常大、无穷大的数。 那么，你可以说，是用一个有界的分子， 除以一个无穷大的分母， 它就会趋近于 0。 这是一种解题方法。 还有一种方法，也是同样的思路， 但逻辑更加严谨一些。 因为我们知道，cos 是有界的， 所以我们可以说， cos x 除以 x 平方减 1， 它小于等于， 这个分子最大就是 1， 所以它是小于等于 1 除以 x 平方减 1。 而它又大于等于， 它大于等于， 这个分子最小也就等于 -1， 所以是 -1 除以 x 平方减 1。 我再理一遍， 看，cos x 最大能达到 1， 而最小能达到 -1。 这对所有的 x 均成立。 所以我们可以说， 同时都取 x 区域无穷的极限， 不等式仍然成立。 x 趋于无穷的极限， 这也是 x 趋于无穷的极限。 现在，我们讨论这部分， 它的上面是常数， 下面是无穷大， 所以它趋于 0。 所以这就是 0 小于等于 x 趋于无穷时 cos x 除以 x 平方减 1 的极限， 它又小于等于， 当然，这里也是 0， 分子是常数，分母是无穷大， 分母是无穷大， 所以这里也是 0。 因此，如果我们这个极限， 如果 0 小于等于这个极限， 再小于等于 0， 所以这个极限， 它必须也等于 0。