商（包括三角函数）无穷处极限 (极限未定义)

我们来看， 如何计算 x 平方加 1 除以 sin x 在 x 趋于无穷时的极限。 我们先看分子， 然后再考虑分母。 分子，我们有 x 平方减 1， 随着 x 变得越来越大， 它会趋近于无穷大， 因为它是平方， 所以趋近无穷大的速度还更快。 所以随着 x 趋于无穷， 这部分也趋于无穷大。 那么分母呢？ sin x，我们之前也见过， sin x 和 cos x 都是有界的， 它们来回振荡， 在 -1 到 1 之间来回震荡， 也就是 -1 小于等于 sin x， 再小于等于 1。 所以分母部分是振荡的。 这告诉我们什么？ 我们可以试着判断说， 因为分子无界，并趋于无穷， 而分母在这两个值之间振荡， 可能整个式子就趋于无穷。 但我们要注意，因为在这里， 因为分母在正值和负值之间振荡， 所以，分子越来越趋近正无穷， 但它有时候除以正值， 有时候除以负值。 所以我们是在正值和负值之间不断跳跃， 正值和负值。 而且，我们还要考虑渐近线， 每当 sin x 等于 0， 我们就有一条竖直渐近线， 式子在此处没有定义。 有很多竖直渐近线， 你会在正值负值之间振荡， 而绝对值会越来越大。 所以，极限不存在。 所以它不存在。 不存在。 从图形上看得更清楚。 语言描述的结论， 依据的是这个表达式， 但看它的图像更加直观 我已经画出它的图像了。 你可以看到，随着 x 趋于正无穷， 随着 x 趋于正无穷， 我们的函数值，根据 x 的取值， 函数值会趋于正无穷，接近竖直渐近线， 然后跳到负值， 跳到负无穷，接近竖直渐近线， 一上一下，一上一下， 这个振荡会变得越来越极端， 而且不断有竖直渐近线， 周期性出现。 很明显，这个极限不存在。