商在无穷处的极限（第一部分）

f(x)=4x^5 - 3x^2 +3 除以(6x^5 - 100x^2 -10) 除以(6x^5 - 100x^2 -10) 现在 我想要思考的时 当x趋近于正无穷 f(x)的的极限是什么 有几种方法 你可以事实上试着让x越变越大 然后看它是否有接近一个数字 或者你可以用更简单的方法 我会有后者来算 我们要做的是思考分子的变化 和分母的变化 随着x越来越大 注意 x是变得越来越大 我们先观察分子 当x越变越大 分子 4x^5会变得越来越大 分子 4x^5会变得越来越大 分子 4x^5会变得越来越大 平方会增长得很快 但是五次方 会增长得快得多 同样的 在分母 这个部分 也会变得很大 因为是五次方 也会增长得很快很快 比任何项都快 即使后一项的系数是100 五次方 仍然会增长得比它快得多 所以当x变得越来越大 这一项 仍然会变得越来越大 比任何项都大 或者我们可以说 当x接近正无穷 它变得越来越大 现在 这可以被简化成什么？ 我们有x^5除以x^5 这两项会一起增长 所以你可以认为这两项抵消了 所以你剩下的是2/3 所以你可以说 f(x)的极限 当x趋近于正无穷 当x越来越大 所有项 都不会影响太多 所以整个函数的极限是2/3 现在让我们看一看它的图像 看看极限是不是如我们所求的 我们事实上说的是 函数的水平渐近线是y=2/3 所以让我们看一看图像 这个是图像 从wolfram alpha 我们看到 确实 当x越来越大 函数看起来确实是在接近 2/3 看起来 水平渐近线 在这里 让我们把它画出来 我们的水平渐近线在2/3 所以我们把它画出来 所以这里就是y=2/3 当x变得很大的时候 当x接近正无穷时 y越来越接近2/3 当我们看一看图像 看起来确实是这样 从下面往上 当x接近于负无穷 也是这样的 所以我们可以说f(x)的极限 当x接近负无穷 也是2/3 我们可以用同样的逻辑求出 当x变得越来越小 变得越来越小 越来越小 唯一值得思考的就是4x^5 和6x^5 所以我们的答案对x接近正无穷 和对x接近负无穷都是正确 所以我们可以也可以说 当x接近负无穷的时候 也是正确的 然后x的五次方 和x的五次方 我们可以看成抵消了 这两个是主要的影响因素 所以极限等于2/3 再一次 我们可以看到在图像这里 水平渐近线是2/3 当x趋近于正无穷f(x)的极限 就是2/3 当x趋近于负无穷 f(x)的极限 还是2/3 所以总的来说 无论我们怎么做 我们要做的就是 找出决定性的那一项 然后专注于那一项的变化就好了