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主要内容
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视频字幕

我们来考虑 100+x 的平方根减去 x 的平方根,当 x 趋于正无穷时的极限。 我鼓励你暂停视频, 试着自己把它做出来。 好,我假设你已经有些进展了。 来我们一起, 在我们进行代数变换之前, 我们先考虑, x 越来越大的时候, 趋近于无穷大时, 会发生什么? 尽管这个 100 已经是个很大的数字了。 但当 x 越来越大, 大到几亿亿亿亿, 比它还大, 亿亿亿亿亿亿亿。 你应该能想象 这个根号下的 100 几乎就不算什么了。 当 x 变得越来越大时, 根号 100+x 基本就近似等于根号 x。 所以当 x 变得越来越大时, 我们可以合理的认为 根号 100+x 近似等于根号 x。 在那种情况下, x 会非常非常大。 实际上, x 一直在增加时, 这两个部分就会越来越相等。 所以我们有理由相信, 当 x 趋近于无穷大, 它的极限等于 0。 你是从甲中减去乙, 而甲越来越跟乙相等。 但我们现在 还是使用代数变换 来说明这个结论, 毕竟“x 非常大的时候,100 就不起什么作用了” 这种论证实在不严谨。 所以我重写这个表达式, 看是否能做一些有趣的数学推导。 那么这是根号 100+x 减根号 x, 一看到两个根号相减, 你马上就应该冒出个想法: 我们可以乘以它俩的和, 不就能去掉根号了吗? 或者说,至少能做一步变形, 也许变形之后, 就容易求出 x 趋于无穷大时的极限。 但我们明显不能直接乘以它俩的和, 为不改变表达式的值, 我们只能乘以 1。 但我们可以乘以 1 的某种形式, 其实就是分子分母都是它的共轭, 这也是 1, 好,我们来乘 乘以根号 100+x 加上根号 x, 分母也同样。 根号 100+x 加根号 x。 请注意, 这部分就是 1, 我们为什么要这么乘, 为什么分子分母都是它的共轭形式, 就是因为平方差公式嘛。 这就等于, 分母不变, 等于 根号 100 —— 我来这样写, 100+x 再加上根号 x, 然后是分子, 分子是根号 100+x, 减去根号 x, 乘以这个部分。 乘以根号 100+x 加根号 x。 现在,这一部分 实际上是 A+B 乘以 A-B 的形式, 平方差公式用起来。 然后这就等于 上面这部分就等于 我换一种颜色, 这就等于 它的平方减去 减去它的平方。 根号 100+x 的平方 就是 100+x, 100+x 那根号 x 的平方呢? 那就等于 x, 所以是减 x, 这么一看, 确实化简得很漂亮。 这是分子, 分母还是根号 100+x 加根号 x。 这两个 x 抵消了, 分子只剩下 100, 分母是根号 100+x 加根号 x。 我们把原来的极限写下来, x 趋于无穷大的极限, 后面变成了, 通过数学推导, 变成了这样, x 趋于无穷大时, 100 除以根号 100+x 加根号 x 的极限, 这样非常清晰了。 分子是固定的 100, 它不会变, 但是我们的分母, 它会越来越大, 没有上限, 所以分母在增大的时候, 分子保持不变, 实际上这就是一个分子不变 分母一直在增加, 或者说非常非常大, 或者说无穷大。 因此整个式子趋近于 0。 这跟我们最开始的判断一致。