函数差的无穷处极限

我们来考虑 100+x 的平方根减去 x 的平方根，当 x 趋于正无穷时的极限。 我鼓励你暂停视频， 试着自己把它做出来。 好，我假设你已经有些进展了。 来我们一起， 在我们进行代数变换之前， 我们先考虑， x 越来越大的时候， 趋近于无穷大时， 会发生什么？ 尽管这个 100 已经是个很大的数字了。 但当 x 越来越大， 大到几亿亿亿亿， 比它还大， 亿亿亿亿亿亿亿。 你应该能想象 这个根号下的 100 几乎就不算什么了。 当 x 变得越来越大时， 根号 100+x 基本就近似等于根号 x。 所以当 x 变得越来越大时， 我们可以合理的认为 根号 100+x 近似等于根号 x。 在那种情况下， x 会非常非常大。 实际上， x 一直在增加时， 这两个部分就会越来越相等。 所以我们有理由相信， 当 x 趋近于无穷大， 它的极限等于 0。 你是从甲中减去乙， 而甲越来越跟乙相等。 但我们现在 还是使用代数变换 来说明这个结论， 毕竟“x 非常大的时候，100 就不起什么作用了” 这种论证实在不严谨。 所以我重写这个表达式， 看是否能做一些有趣的数学推导。 那么这是根号 100+x 减根号 x， 一看到两个根号相减， 你马上就应该冒出个想法： 我们可以乘以它俩的和， 不就能去掉根号了吗？ 或者说，至少能做一步变形， 也许变形之后， 就容易求出 x 趋于无穷大时的极限。 但我们明显不能直接乘以它俩的和， 为不改变表达式的值， 我们只能乘以 1。 但我们可以乘以 1 的某种形式， 其实就是分子分母都是它的共轭， 这也是 1， 好，我们来乘 乘以根号 100+x 加上根号 x， 分母也同样。 根号 100+x 加根号 x。 请注意， 这部分就是 1， 我们为什么要这么乘， 为什么分子分母都是它的共轭形式， 就是因为平方差公式嘛。 这就等于， 分母不变， 等于 根号 100 —— 我来这样写， 100+x 再加上根号 x， 然后是分子， 分子是根号 100+x， 减去根号 x， 乘以这个部分。 乘以根号 100+x 加根号 x。 现在，这一部分 实际上是 A+B 乘以 A-B 的形式， 平方差公式用起来。 然后这就等于 上面这部分就等于 我换一种颜色， 这就等于 它的平方减去 减去它的平方。 根号 100+x 的平方 就是 100+x， 100+x 那根号 x 的平方呢？ 那就等于 x， 所以是减 x， 这么一看， 确实化简得很漂亮。 这是分子， 分母还是根号 100+x 加根号 x。 这两个 x 抵消了， 分子只剩下 100， 分母是根号 100+x 加根号 x。 我们把原来的极限写下来， x 趋于无穷大的极限， 后面变成了， 通过数学推导， 变成了这样， x 趋于无穷大时， 100 除以根号 100+x 加根号 x 的极限， 这样非常清晰了。 分子是固定的 100， 它不会变， 但是我们的分母， 它会越来越大， 没有上限， 所以分母在增大的时候， 分子保持不变， 实际上这就是一个分子不变 分母一直在增加， 或者说非常非常大， 或者说无穷大。 因此整个式子趋近于 0。 这跟我们最开始的判断一致。