包含平方根的商在无穷处的极限 (奇数幂)

已知函数f(x)等于x/(x^2+1)， 我们想要求，当x趋近于正无穷时，f(x)的极限， 以及当x趋近于负无穷时，f(x)的极限。 让我们一起来想想看。 这一回，我还是会采用一种不那么严格，但更为直观的思路： 考虑随着x越来越大， 此函数约等于什么。 首先，无论x是趋近于正无穷还是负无穷， 都意味着x的绝对值将会变得 非常非常大。 此函数的分子只包含一项：x； 而其分母则在根号下包含两项。 随着x在正方向或负方向上越走越远， 这个x的平方项将会占据主导地位。 譬如，当x等于一百万时，这就变成了一百万的平方加一。 分母的值将取决于这个x的平方项。 所以此函数将约等于x除以根号下x方。 当x足够大时，此处的1则可忽略不计。 而这个式子 —— x除以根号下x方，或x除以x方的算术平方根 —— 也就等于x除以… 如果我们把一个数先平方再取它的算术平方根 —— 注意：算术平方根是平方根中非负的那一个 —— 那也就相当于取x的绝对值。 这个式子就等于x除以x的绝对值， 当x趋近于正无穷或负无穷时。 换句话说，我们可以重写这两个极限， 当x趋近于正无穷时，这个极限，可以被改写成 当x趋近于正无穷时，x/|x|的极限。 而当x为正时，x的绝对值就等于x本身。 所以这个式子就等于x除以x，也就是1。 类似地，当x趋近于负无穷时， 这个极限也等于x/|x|的极限。 注意，这个等式之所以成立，是因为f(x)与这个式子在此时 变得非常非常的接近，你可以说它们趋近于彼此， 前提是x非常非常正，或非常非常负。 而由于当x为负时，x的绝对值等于x的相反数， 所以这个式子最终等于-1。 基于上述结论，我们可以试着画出这个函数的图象。 让我们来试一试。 先画一条y轴， 再画一条x轴。 根据上述结论，此处应有两条水平的渐近线。 其中一条是y=1， 假设y轴上的1在此处， 我们来画条虚线， 我们的函数图象将会趋近于此线。 除此之外我们还有另一条水平的渐近线：y=-1。 它大概在这儿：y=-1。 此外我们最好再点出一个此函数图象会经过的点。 最容易求的是f(0) ，它等于0除以根号下0方加1， 也就是0。 所以此函数图象过点（0,0）。 如上所述，我们还知道当x趋近于正无穷时，函数图象趋近于这条蓝线。 所以它大体上应该长这样。 让我换种画法。 先把刚才画的擦了。它大体上应该长这样。 噢，我用错颜色了。 所以它大体上应该长这样。 随着x越来越大，图象越来越接近这条渐近线。 而在反方向上 —— 随着x越来越趋近于负无穷，图象趋近于这条渐近线。 我画得比较凑合。 好了，这就是y=f(x)的图象。 你可以用计算器多取几个点来做验证， 或者用图形计算器也行。 总之，以上是当函数自变量趋近于正负无穷时的又一个例子， 我们确定了其水平方向的渐近线。 记住，问题的关键在于，判断出 当x趋近于正负无穷时，哪些项将占据主导地位。 据此，我们就能判断出该函数将趋近于何处， 在此例题中，它在正负方向上各趋近于一条渐近线。