主要内容
用图像估计极限
开始理解极限的最佳方法是使用图像。学习如何利用图像分析函数极限以及极限不存在时的情况。
函数所趋近于的值——我们叫做极限——与函数的值本身之间有着非常重要的区别。图像是一个很好的能够理解该区别的工具。
在上述例子中,我们看到函数值是不成立的,但是极限值却约为 0, point, 25。
请记住,我们在处理一个近似值,不是一个确切的值。如果我们想要的话,我们总可以更进一步的得到一个更准确的近似值。
示例
下面给出了一个有趣的使用图像来估算极限值的例题。在某些示例中,极限值和函数值是相等的,但是在另一些示例中,他们并不是。
有时, 极限值等于函数值。
但是,有时极限值不等于函数值。
每当你在处理一个分段函数时,就有可能得到一个像下面这样的图像。
知识点打包: 函数值与极限值不同是可能存在的。
而且,只是因为函数在某些 x 值不成立,并不意味着极限值不存在。
图像中的空心圈会出现在有理函数中,当他们的分母为零时,该函数不成立。这里有个经典的例子:
在该例子中,极限值为 1 因为当我们的 x 的值越来越接近于 0 时,y 的值越来越趋近于它。而函数在 x, equals, 0 时不成立并不影响它。极限值始终存在。
这里有另一个你可以试着练一下的题。
划重点: 函数在 x, equals, minus, 4 的值与找极限值没有关系。重要的是,我们要弄清楚当我们越来越靠近 x, equals, minus, 4 时,y 的值趋近于多少。
从另一方面来说,当函数在某 x 值成立,并不意味着极限值必须存在。
就想一个之前的例子一样,该图像告诉我们当我们在处理分段函数时,这样的事情会发生。注意看我们是怎么样从两边靠近 x, equals, 3 却无法得到相同的 y 的值。
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现在,图形计算器用起来是非常顺畅的。
在两个例子中,函数在我们所靠近的 x 值均不成立,但是极限值却均存在,且可预测。