用图像估计极限 (文章) | 从图中估计极限

函数所趋近于的值——我们叫做极限——与函数的值本身之间有着非常重要的区别。图像是一个很好的能够理解该区别的工具。

在上述例子中，我们看到函数值是不成立的，但是极限值却约为

0.25

。

请记住，我们在处理一个近似值，不是一个确切的值。如果我们想要的话，我们总可以更进一步的得到一个更准确的近似值。

示例

下面给出了一个有趣的使用图像来估算极限值的例题。在某些示例中，极限值和函数值是相等的，但是在另一些示例中，他们并不是。

有时, 极限值等于函数值。

问题1

对 $lim_{x \to 1} g (x)$ ‍ 的合理估值是什么？

但是，有时极限值不等于函数值。

每当你在处理一个分段函数时，就有可能得到一个像下面这样的图像。

问题2

对 $lim_{x \to 1} g (x)$ ‍ 的合理估值是什么？

[这些圆圈代表了什么？]

知识点打包： 函数值与极限值不同是可能存在的。

而且，只是因为函数在某些 $x$ ‍ 值不成立，并不意味着极限值不存在。

图像中的空心圈会出现在有理函数中，当他们的分母为零时，该函数不成立。这里有个经典的例子：

在该例子中，极限值为

1

因为当我们的

x

的值越来越接近于

0

时，

y

的值越来越趋近于它。而函数在

x = 0

时不成立并不影响它。极限值始终存在。

这里有另一个你可以试着练一下的题。

问题3

对 $lim_{x \to - 4} f (x)$ ‍ 的合理估值是什么？

划重点： 函数在

x = - 4

的值与找极限值没有关系。重要的是，我们要弄清楚当我们越来越靠近

x = - 4

时，

y

的值趋近于多少。

从另一方面来说，当函数在某 $x$ ‍ 值成立，并不意味着极限值必须存在。

就想一个之前的例子一样，该图像告诉我们当我们在处理分段函数时，这样的事情会发生。注意看我们是怎么样从两边靠近

x = 3

却无法得到相同的

y

的值。

问题 4

对 $lim_{x \to 3} g (x)$ ‍ 的合理估值是什么？

想要更多练习？点击练习。

现在，图形计算器用起来是非常顺畅的。

类似 Desmos 的图形计算器可以给你一种，当你越来越接近某

x

值时，

y

值发生了什么的感受。试着使用图形计算器来预测下列极限值：

\begin{aligned} lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \\ lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^{2} - 9} \end{aligned}

在两个例子中，函数在我们所靠近的

x

值均不成立，但是极限值却均存在，且可预测。

总结问题

问题5

$lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ ‍ 一直为真吗？

问题6

哪个句子更好地描述了图像是如何帮助我们解释极限的？

(选择 A)
图像，通过在我们越来越靠近某 $x$ ‍ 值的时候（从两边）让我们预估我们正在趋近于的有限的 $y$ ‍ 值，来帮助我们估算一个极限值。
(选择 B)
图像是一个能够总是找到确切极限值的非常好的工具。

微分学

课程: 微分学 > 单元 1

用图像估计极限

示例

有时, 极限值等于函数值。

但是，有时极限值不等于函数值。

而且，只是因为函数在某些 $x$ ‍ 值不成立，并不意味着极限值不存在。

从另一方面来说，当函数在某 $x$ ‍ 值成立，并不意味着极限值必须存在。

现在，图形计算器用起来是非常顺畅的。

总结问题

想加入讨论吗？

微分学

课程: 微分学 > 单元 1

示例

有时, 极限值等于函数值。

但是，有时极限值不等于函数值。

而且，只是因为函数在某些 x‍ 值不成立，并不意味着极限值不存在。

从另一方面来说，当函数在某 x‍ 值成立，并不意味着极限值必须存在。

现在，图形计算器用起来是非常顺畅的。

总结问题

想加入讨论吗？

而且，只是因为函数在某些 $x$ ‍ 值不成立，并不意味着极限值不存在。

从另一方面来说，当函数在某 $x$ ‍ 值成立，并不意味着极限值必须存在。