极限与图像的对应

图中所画的，是函数 y = g(x) 的图象。 我想要考察的是当x趋近于5时， 函数g(x)的极限 是多少。 类似的问题我们已经处理过好几次了。 我们先来看看当x从左侧趋近于5时， g(x)趋近于多少。 此时g(x)趋近于-6。 当x从右侧趋近于5时， g(x)看上去也还是趋近于-6。 所以从图上看，一个合理的估计是： 当x趋近于5时， g(x)趋近于-6。 值得注意的是， -6并不等于g(5)。 g(5)等于另一个值。 而本视频的主要目的 正是品鉴“极限”究竟意味着什么。 “极限”仅仅描述一个函数趋近于 某个点时的行为。 它并不告诉我们在那个点本身上发生了什么， 并不告诉我们g(5)等于几。 它也不提供多少关于该函数， 关于该函数图象 其余部分的信息。 比如，我可以构造出许多互不相同的函数， 它们都满足：当x趋近于5时， 函数值趋近于-6。 而它们可以长得和g(x)完全不同。 比如，假定另有一个函数 f(x) 当x趋近于5时， f(x)也趋近于-6。 我们可以把f(x) 构造得与g(x)完全不同。 假如你有兴趣， 可以暂停视频试着自行构造。 假如你手头有纸，也可以随便画画。 这里的关键在于 当x从两侧（左侧和右侧） 趋近于5时， f(x)必须趋近于-6。 比如， 这函数可以长这样， 让我来画一个f(x)， 一个长这样的f(x)， 它甚至可以在x=5时有定义， 然后再这么走。 这个函数满足要求。 当我们从左边趋近于5时， 函数值趋近于-6。 当我们从右边趋近于5时， 函数值也趋近于-6。 满足条件的函数其实还可以 更有个性一点， 让我们称它为h(x)。 当x趋近于5时， h(x)也趋近于-6。 让我们把h(x)整得有个性一点， 它在这个区间里有定义， 接着在此处来一个阶跃， 再走一段。 它甚至可以在这个区间中不被定义， 然后到下边来， 在x大于或等于4时存在定义。 我们让它刚好经过点(5, -6)。 再次强调， 所有这些， 所有这些函数，当x趋近于5时， 它们都存在极限， 且这些极限都等于-6， 但这些函数可以长得非常、非常、非常不同。 另一点需要留心的是， 针对一个给定的函数， 让我把这些先删掉， 我们常常被问到的，是当x趋近于某种特殊值时， 这个函数的极限是多少。 比方说， 在刚才的问题中， 5是特殊的， 因为该函数在x=5处不连续。 但实际上，你可以针对 无数个点 求这个函数的极限。 比方说， 你可以考虑 当x趋近于， 写错了，不是等于，当x趋近于1时 g(x)趋近于多少。 先暂停视频，试着独立回答。 我们一起来看看， 当x从左侧趋近于1时， 函数趋近于这个值。 而当x从右侧趋近于1时， 函数趋近于这个值。 所以此处的极限就等于g(1)。 等于g(1)。 从图上看， 这是一个完全 合理的结论。 假如我们要估算g(1)具体等于多少， 它看上去约等于-5.1， 或是-5.2。 我们还可以考虑 当x趋近于π时， g(x)的极限等于多少。 π大概在这个位置。 当x从左侧趋近于π时， 函数趋近于这个值， 它看起来和我们刚才得到的值 非常接近。 当x从右侧趋近于π时， 函数趋近于这个值。 和刚才类似， 此处的极限就等于g(π)。 在这些地方不存在任何的不连续， 也没有别的什么特异性。 所以方才我们学到的主要有两点。 首先，你可以构造许多彼此不同的函数， 它们在同一个点上具有相同的极限。 其次，对一个给定的函数， 你可以在许多不同的点上求极限， 实际上是无数个不同的点。 指出“这一点”是有必要的， 此处没有双关， 因为我们往往习惯于 只在有特异性的点的位置 考虑函数的极限。